6) Емкость проводников и конденсаторов. Плоский и сферический конденсаторы.

Сообщим уединённому сферическому проводнику радиуса R заряд Q. Можно показать, что потенциал проводника станет равным . Отношение заряда проводника к его потенциалу будет зависеть только от радиуса R сферического проводника. Опыт показывает, что прямая пропорциональная зависимость потенциала сферы от заряда справедлива не только для сферических (шаровых) проводников, но и для уединённых проводников любой другой формы и размеров. Это отношение , количественно характеризующее свойство проводника накапливать электрический заряд, называется электроёмкостью. Таким образом, емкость сферического проводника пропорциональна его радиусу R. с = 4₀R. Емкость любого другого проводника будет зависеть от его размеров и формы. В системе СИ ёмкость проводников измеряется в фарадах. 1 фарад — ёмкость такого проводника, потенциал которого возрастает на 1В при сообщении ему заряда 1 Кл. 1 Фарад — большая единица ёмкости: емкость земного шара составляет менее одного миллифарада. Поэтому в технике чаще используются микрофарады 1 мк = 10^–6 и микро-микрофарады 1 пФ = 10^–12 . Эту единицу называют пикофарад. Значительно большей ёмкостью, чем уединённые проводники обладают конденсаторы. Эти электротехнические устройства состоят из двух изолированных друг от друга проводников (обкладок конденсатора). Если сообщить обкладкам конденсатора равные, но противоположные по знаку заряды (+q) и (–q), то между обкладками возникнет разность потенциалов (₁ – ₂). Отношение заряда к разности потенциалов для определённой пары проводников будет зависеть только от их размеров и взаимного расположения. Это отношение называется ёмкостью конденсатора . Ёмкость конденсаторов измеряется, конечно, в тех же единицах, что и ёмкость отдельных проводников ([с] = 1 ).

Сообщим обкладкам плоского конденсатора заряды +Q и –Q. Плотность заряда на обкладках станет равной , а напряжённость однородного электрического поля, возникшего в конденсаторе: . Воспользовавшись связью напряжённости и потенциала в электрическом поле, вычислим разность потенциалов на обкладках конденсатора: ; . . Это соотношение и позволяет определить ёмкость плоского конденсатора . Ёмкость этого конденсатора прямо пропорциональна площади его обкладок (S) и обратно пропорциональна расстоянию (d) между ними. Напомним, что разность потенциалов между обкладками была вычислена в предположении, что поле между ними однородное. Это означает, что результат (4.7) в известном смысле идеализация. Мы вычислили ёмкость плоского конденсатора, пренебрегая краевыми искажениями поля.

Обкладками сферического конденсатора являются две концентрические сферы радиусами R₁ и R₂. На прошлой лекции была вычислена разность потенциалов между обкладками сферического конденсатора. Она оказалась пропорциональна заряду конденсатора. . Ёмкость, равная по определению отношению заряда к разности потенциалов, для сферического конденсатора, составит следующую величину . Этот результат свидетельствует о том, что ёмкость сферического конденсатора зависит от размеров сфер (R₁ и R₂) и от величины зазора d (d = R₁ – R₂) между ними. Интересно, что при достаточно малом зазоре d, когда R₁  R₂ = R, можно записать ёмкость сферического конденсатора так: . Но 4R² = S — площадь поверхности сферы. Поэтому и ёмкость сферического конденсатора оказывается равной ёмкости «эквивалентного» плоского конденсатора.