1. Показатели вариации

Конкретные условия, в которых находится каждый из изучаемых объектов, а также особенности их собственного развития (социальные, экономические и пр.) выражаются соответствующими числовыми уровнями статистических показателей. Таким образом, вариация, т.е. несовпадение уровней одного и того же показателя у разных объектов, имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления.

Для измерения вариации в статистике применяют несколько способов.

Наиболее простым является расчет показателя размаха вариации R как разницы между максимальным (X_max ) и минимальным (X_min) наблюдаемыми значениями признака. Однако размах вариации показывает лишь крайние значения признака. Повторяемость промежуточных значений здесь не учитывается.

Более строгими характеристиками являются показатели колеблемости относительно среднего уровня признака. Простейший показатель такого типа – среднее линейное отклонение L как среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня.

Показатель среднего линейного отклонения нашел широкое применение на практике. С его помощью анализируются, например, состав работающих, ритмичность производства, равномерность поставок материалов, разрабатываются системы материального стимулирования. Но, к сожалению, этот показатель усложняет расчеты вероятностного типа, затрудняет применение методов математической статистики. Поэтому в статистических научных исследованиях для измерения вариации чаще всего применяют показатель дисперсии.

Дисперсия признака (σ²) определяется на основе квадратичной степенной средней. Показатель , равный ,  называется средним квадратичным отклонением. В общей теории статистики показатель дисперсии является оценкой одно именного показателя теории вероятностей и (как сумма квадратов отклонений) оценкой дисперсии в математической статистике, что позволяет использовать положения этих теоретических дисциплин для анализа социально-экономических процессов.

Если из генеральной совокупности сделать несколько выборок и каждый раз при этом определять среднее значение признака, то возникает задача оценки колеблемости средних. Оценить дисперсию среднего значения можно и на основе всего одного выборочного наблюдения.

Величина μ носит название средней ошибки выборки и является характеристикой отклонения выборочного среднего значения признака Х от его истинной средней величины. Показатель средней ошибки используется при оценке достоверности результатов выборочного наблюдения.

Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%.

1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

2. Относительное линейное отключение характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

3. Коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин.

В статистике совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30–35 %, принято считать неоднородными.

Рассчитаем показатели вариаций на основе данных о среднедушевых денежных доходах населения с 2000 по 2009 года (Таблица 1).

Таблица 1

Среднеду-шевые денежные доходы населения, x	Частота, f	Кумулята, s	xf	|x-x̅|	|x-x̅|f	|x-x̄|²	|x-x̄|²f
3452,4	1	1	3452,4	7652,44	7652,44	58559837,95	58559837,95
4559,1	1	2	4559,1	6545,74	6545,74	42846712,15	42846712,15
5915,6	1	3	5915,6	5189,24	5189,24	26928211,78	26928211,78
7100,8	1	4	7100,8	4004,04	4004,04	16032336,32	16032336,32
8343	1	5	8343	2761,84	2761,84	7627760,19	7627760,19
10834,5	1	6	10834,5	270,34	270,34	73083,72	73083,72
13236,8	1	7	13236,8	2131,96	2131,96	4545253,44	4545253,44
15962,2	1	8	15962,2	4857,36	4857,36	23593946,17	23593946,17
19063	1	9	19063	7958,16	7958,16	63332310,59	63332310,59
22581	1	10	22581	11476,16	11476,16	131702248,35	131702248,35
Итого	10		111048,4	52847,28	52847,28	375241700,66	375241700,66

1. Рассчитаем средний денежный доход, приходящийся на душу населения:

x̄= ,

x̄= =11104,84. 2) Моду рассчитать невозможно, потому что частота в каждой строке равна единице.

3) Рассчитаем медиану:

а) номер медианы ,

N= =5,5

б) медиана Me=10834,5

4) Рассчитаем размах вариации:

R=x_max – x_min,

X_min=3452,4

X_max=22581

R = 22581 – 3452,4 = 19157,6.

5) Рассчитаем среднее линейное отклонение:

,

=528,47.

6) Рассчитаем дисперсию:

= 37524170,06.

7) Рассчитаем среднее квадратичное отклонение:

,

6125,7.

8) Рассчитаем коэффициент осцилляции:

,

K₀ = = 172,52%.

9) Рассчитаем линейный коэффициент вариации:

= =4,76%.

Рассчитаем коэффициент вариации:

= 55,16%.

) Рассчитаем среднюю ошибки выборки:

,

= = 1937,12.

Вывод: из полученных расчетов видно, что разность между минимальным и максимальным значениями среднедушевого дохода очень велика и превышает среднюю арифметическую, что показывает большой скачок величины доходов в 2009 году по сравнению с 2000.