2. Аналитическое выравнивание рядов динамики.

Более точным способом отображения тенденции динамического ряда является аналитическое выравнивание, т. е. выравнивание с помощью аналитических формул. В этом случае динамический ряд выражается в виде функции у (t), в которой в качестве основного фактора принимается время t, и изменения аргумента функции определяют расчетные значения уt.

Фактическими (или эмпирическими) уровнями ряда динамики называют исходные данные об изменении явления, т. е. данные, полученные опытным путем, посредством наблюдения. Они обозначаются уi. Расчетными (или теоретическими) уровнями ряда называют значения, полученные в результате подстановки в уравнение тренда значений t, и обозначают их.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом , чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса .

Чаще всего при выравнивании используются следующий зависимости :

• линейная Y_t=a₀+a₁t ;

• параболическая Y_t=a₀+a₁+a₂t²;

• экспоненциальная Y_t=exp(a0+a1t)

• или Y_t=exp(a₀+a₁t+a₂t²).

1)Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

2)Параболическая зависимость используется , если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития , но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют .

3)Экспоненциальные зависимости применяются , если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста , темпов прироста , коэффициентов роста) , либо , при отсутствии такого постоянства , -- устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста , цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.д.)

Таким образом, целью аналитического выравнивания является:

- определение вида функционального уравнения;

- нахождения параметров уравнения;

- расчет «теоретических», выровненных уровней, отображающих основную тенденцию ряда динамики.

Графическое отображение изменения уровней ряда играет большую роль в применении данного вида выравнивания. Оно позволяет ускорить процедуру анализа и увеличить степень наглядности полученных результатов.

Для оценки параметров (а₀, а₁, а₂, …) чаще применяется метод наименьших квадратов:

а₀= ; а₁= ; .

С помощью определителей можно рассчитать параметры а₀ и а₁, с использованием таких показателей как сумма , , _t, при этом

a₀= ;

a₁= .

В работе для выравнивания ряда динамики используем линейную зависимость Y_t=a₀+a₁t .

На основе среднедушевых денежных доходов населения с 2000 по 2009 год произведем аналитическое выравнивание (Таблица 2 и 3).

Таблица 2

Год	Данные, y	Условные года, t	t²	t*y	Ȳ̄t
2000	3452,4	-9	81	-31071,6	1700,73
2001	4559,1	-7	49	-31913,7	3790,54
2002	5915,6	-5	25	-29578	5880,34
2003	7100,8	-3	9	-21302,4	7970,14
2004	8343	-1	1	-8343	10059,94
2005	10834,5	1	1	10834,5	12149,74
2006	13236,8	3	9	39710,4	14239,54
2007	15962,2	5	25	79811	16329,34
2008	19063	7	49	133441	18419,14
2009	22581	9	81	203229	20508,95
Итого	111048,4	­	330	344817,2	111048,40

а₀= = =11104,84,

а₁= = =1044,90.

Таблица 3

Год	Данные, у	Условные года, t	t²	t*y	Ȳt
2000	3452,4	1	1	3452,4	1700,73
2001	4559,1	2	4	9118,2	3790,54
2002	5915,6	3	9	17746,8	5880,34
2003	7100,8	4	16	28403,2	7970,14
2004	8343	5	25	41715	10059,94
2005	10834,5	6	36	65007	12149,74
2006	13236,8	7	49	92657,6	14239,54
2007	15962,2	8	64	127697,6	16329,34
2008	19063	9	81	171567	18419,14
2009	22581	10	100	225810	20508,95
Итого	111048,4	55	385	783174,8	111048,40

a₀= = = -389,07;

a₁= = = 2089,80, где параметр а₀ означает начальный уровень тренда при параметр а₁ характеризует средний абсолютный прирост в единицу времени.

Отсюда Y_t = -389,07+2089,80t, подставив значение t в уравнение, найдем выровненные теоретические значения Y_t.

Покажем на графике модельный и факторный ряды (График 1):

График 1

Вывод: среднедушевые денежные доходы населения с 2000 по 2009 годы увеличились.