3. Теореми множення, додавання ймовірностей. Формула повної ймовірності подій. Ймовірність гіпотез (формула Бейєса).

Теоремы сложения вероятностей

Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместимых событий, безразлично какого, равна сумме вероятности этих событий.

Доказательство.

Введем обозначение, пусть:

n- общее число исходов;

m₁ — число исходов благоприятствующих событию А;

m₂ — число исходов благоприятствующих событию В;

Тогда по определению действия над событиями, число исходов благоприятствующим появлению либо события А, либо событию В равно

m₁₊m_2.

По классическому определению вероятности, вероятность события(А+В) будет равна числу благоприятствующих исходов к числу общих исходов.

Следствие:

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично каких, равна сумме вероятностей этих событий.

Теорема 2. Сумма вероятностей событий, образующую полную группу равна 1.

Доказательство.

Так как по определению событий образующих полную группу, появление одно их них обязательно произойдет, а это значит что оно достоверно, а вероятность достоверного события равна 1.

- попарно несовместимы, по этому к ним нужно применить теорему 1.(сложения)

Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Доказательство.

Согласно определению противоположных событий, образующих полную группу,

а по теореме 2(сложения) сумма их вероятностей равна 1.

. Теоремы Умножения вероятностей

События называют независимыми если наступление одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое.

Теорема 1

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

P(A*B)=P(A)*P(B)

Теорема 2

Вероятность совместного появления двух зависимых, равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Условной вероятностью события А называется вероятность события В, вычисленная при предположении, что событие A наступило.

Вероятность суммы совместных событий равна сумме вероятностей без вероятности их совместного появления.

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A-B)

А) не зависимые события

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)*P(B)

В) зависимые

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)*P_A(B)

Формула полной вероятности.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B₁, B₂, …Bn, образующих полную группу, равна сумме произведения вероятностей этих событий на соответствующию условную вероятность события А.

Р(А)=Р(В₁)*Р_В1(А)+ Р(В₂)*Р_В2(А)+…+ Р(В_n)*Р_Вn(А)

Формула Бейеса:

Позволяет находить вероятность выбранной гипотезы , при условии, что основное событие А уже наступило.

4.Ймовірність гіпотез. Повторення випробувань. Теорема Бернуллі.

Формула полной вероятности.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B₁, B₂, …Bn, образующих полную группу, равна сумме произведения вероятностей этих событий на соответствующию условную вероятность события А.

Р(А)=Р(В₁)*Р_В1(А)+ Р(В₂)*Р_В2(А)+…+ Р(В_n)*Р_Вn(А)

Формула Бейеса:

Позволяет находить вероятность выбранной гипотезы , при условии, что основное событие А уже наступило.

Формула Бернулли:

Применяется в том случае, если производится испытание, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то вероятность такого события можно вичислить по формуле Бернулли (события с малой вероятностью появления при большом числе испытаний)

, где q=1-p