- •Елементи комбінаторики. Основні формули комбінаторики. Біном н’ютона.
- •Перестановка
- •Размещение
- •Комбинация (Сочетание)
- •2.Визначення ймовірності (класичне, статичне). Види подій. Дії з випадковими подіями.
- •Вероятность достоверного события равна 1
- •Вероятность невозможного события равна 0.
- •3. Теореми множення, додавання ймовірностей. Формула повної ймовірності подій. Ймовірність гіпотез (формула Бейєса).
- •4.Ймовірність гіпотез. Повторення випробувань. Теорема Бернуллі.
- •5. Дискретні випадкові величини. Розуміння про закон та функції розподілу ймовірностей дискретних випадкових величин.
- •6.Числові характеристики дискретних випадкових величин. Математичне сподівання, властивості математичного сподівання.
- •Среднее квадратное отклонение
- •7.Дисперсія, властивості дисперсії. Знаходження дисперсії.
- •8.Дисперсія дискретної випадкової величини. Вивід властивості дисперсії про дисперсії різниці.
- •9.Числові характеристики дискретної випадкової величини. Виведеня розрахункової формули дисперсії.
- •Среднее квадратное отклонение
- •10.Числові характеристики дискретної випадкової величини. Виведення властивості про винесення постійного множника за знак дисперсії.
- •Среднее квадратное отклонение
- •11.Числові характеристики дискретної випадкової величини. Визначення початкового та центрального моментів.
- •Среднее квадратное отклонение
- •12.Вивід розрахункових формул центральних моментів через початкові.
- •13.Неперервні випадкові величини. Функція розподілу, її властивості.
- •Значение ф-и распределения принадлежат отрезку [0;1].
- •F(X) – неубывающая ф-я.
- •Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а,в) равна приращению f(X) в этом интервале.
- •14.Щільності розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини. Ймовірностний зміст щільності розподілу.
- •15.Числові характеристики непреривної випадкової величини.
- •16.Запис розрахункових формул центральних моментів через початкові для непреривної випадкової величини.
- •17.Нормальний розподіл, нормальна крива, її властивості. Нормальний розподіл та знаходження координат точок естремума нормального закону розподілу.
- •Исследуем функцию на екстремум:
- •18.Нормальний розподіл, нормальна крива, її властивості. Знаходження точок перегибу нормального закону розподілу.
- •Исследуем функцию на екстремум:
- •19.Нормальний розподіл, нормальна крива, її властивості. Вплив параметрів aі на нормальну криву.
- •Исследуем функцию на екстремум:
- •Исследуем функцию на точки перегиба (2-ая производная)
- •20.Нормальний розподіл, нормальна крива, її властивості. Асиметрія та ексцес.
- •Исследуем функцию на екстремум (первая производная):
- •Исследуем функцию на точки перегиба (2-ая производная)
- •21.Поняття про систему кількох випадкових величин. Закон розподілу ймовірностей дискретної двомірної випадкової величини.
- •22.Задачі математичної статистики. Вибірковий метод. Генеральна та вибіркова сукупність.
- •Графічне подання рядів розподілу. Полігон та гістрограма.
- •24.Генеральна середня, вибіркова середня. Обчислення генеральних середньої та дисперсії, вибіркових середньої та дисперсії.
- •25.Характеристики варіаційного ряду: мода, медіана, розмах варіювання, коефіціент варіації.
- •26.Методи розрахунку збірних характеристик вибірки. Умовні варіанти.
- •27.Метод множень, метод сум для обчислення вибіркової середньої та дисперсії.
- •28.Побудова нормальної кривої та дослідницькими даними.
- •29.Вибіркові рівняння регресії. Пошук параметрів вибіркового рівняння прямої лінії середньоквадратичної регресії по незгрупованим данима.
- •30.Знаходження вибіркового рівняння регресії.
5. Дискретні випадкові величини. Розуміння про закон та функції розподілу ймовірностей дискретних випадкових величин.
Дискретная случайная величина
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения может быть задан графически, аналитически и таблично.
Х x1 x2 xn … хn - возможные значения
Р р1 p2 pn ... рn - вероятности
Возможные значения образуют полную группу событий, а по теореме 2 (сложения) вероятность суммы событий, образующих полную группу равна 1.
То есть р1 + p2 + ... + рn = 1
Например, есть 100 лотерейных билетов, среди которых один билет достоинством 50 грн, 10 билетов – 1 грн, все остальные невыигрышные. Составить закон распределения выигрыша при наличии одного билета.
Х 50 1 0
Р 0,01 0,1 0,89
Для дискретной случайной величины ф-я распределения является ступенчатой функцией.
6.Числові характеристики дискретних випадкових величин. Математичне сподівання, властивості математичного сподівання.
-
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины на их вероятности.
М(Х)=∑ xiрi = x1р1 + x2р2+…+ xnрn
-
Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C) = C.
-
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX) =CM(X).
-
Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин: M(XY) =M(X)M(Y).
-
Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(X*Y) =M(X)*M(Y).
-
Смысл математического ожидания: среднее значение случайной величины.
-
Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего среднего значения.
Смысл: Дисперсия — мера рассеивания случайной величины относительно свого значения
-
Среднее квадратное отклонение
-
Начальным моментом порядка к дискретной случайной величины называется математическое ожидание случайной величины в степени к.
=М(Хk) (ню)
-
Центральным моментом порядка к дискретной случайной величины называется математическое ожидание отклонения порядка к.
Что бы закон распределения дискретной случайной величины возвести в степень k, необходимо его возможные значения возвести в эту степень, а её возможные значения оставить без изменения вероятности.