1. Обзор существующих методов расчёта характеристик сигналов на выходе линейных устройств

1.1. Общие сведения о методах расчета

В общем случае любое устройство состоит из линейных и нелинейных устройств. Однако возможны режимы работы, при которых такая система может быть чисто линейной. Поэтому весьма важной является задача анализа линейных цепей.

В радиотехнике осуществляется анализ устройств в следующей постановке задачи:

S_вх(t) S_вых(t)

K(jω)

Для решения данной задачи недостаточно иметь модель сигнала как функцию времени. Необходимо знать или определить характеристики сигнала в частотной области. Такой характеристикой является спектр сигнала. Знание спектра сигнала позволяет определить область частот, занимаемых данным сигналом.

Существует несколько методов решения данной задачи. Их можно разделить на две группы: точные и приближённые методы анализа.

Точные в свою очередь делятся на:

1. классический (или метод дифференциальных уравнений);

2. спектральный и его разновидность – операторный метод;

3. временной или метод интеграла Дюамеля.

Приближённые методы:

1. приближённый спектральный метод;

2. метод огибающей (спектральный и временной);

3. метод мгновенной частоты.

На практике широкое применение находят различные радиотехнические устройства. Для исследования устройств необходимо иметь их математические модели. Одной из математических моделей может служить множество X={x_i} – входных сигналов и T – функционал преобразования, такой, что

{y_i}=T{x_i}.

В зависимости от вида T различают различные виды радиотехнических устройств:

1. Линейные устройства.

2. Нелинейные устройства.

3. Параметрические устройства.

В линейных устройствах функционал преобразования может быть выражен линейным дифференциальным уравнением

Линейность определяется коэффициентами (a₀ ,a_n , a_n-1 ,…). Если эти коэффициенты постоянны, то это линейное уравнение.

Линейные радиотехнические устройства не обогащают спектр сигнала. Это значит, что они не могут добавить гармоники (хотя убрать вполне могут).

Линейные устройства, удовлетворяющие принципу суперпозиции:

В данном разделе рассматриваются только точные методы расчёта линейных цепей. Они приведены в следующих пунктах.

1.2. Классический метод

Классический метод основан на том, что по законам Кирхгофа составляется дифференциальное уравнение, связывающее входной и выходной сигналы:

, (1)

где y(t) – искомая функция, описывающая сигнал на выходе цепи;

x(t) – известная функция, описывающая входное воздействие;

(a₀ , a₁ , a₂ , a₃ , …, a_n) – постоянные коэффициенты.

Решение уравнения (1) отыскивается в виде суммы двух функций:

y(t)=y₁(t)+y₂(t), (2)

где y₁(t) – частное решение уравнения (1), которое непосредственно зависит от вида внешнего воздействия и описывает вынужденный режим;

y₂(t) – общее решение однородного уравнения

, (3)

характеризующее переходные процессы в цепи.

Классический метод обладает значительными недостатками, заключающимися в следующем:

1. требуется решение дифференциальных уравнений для каждого нового сигнала;

2. сложность метода. Обычно он применяется для анализа простейших цепей, которые описываются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка.