2.4. Вычисление сигнала на выходе системы

Как пример использования спектрального метода решим задачу о прохождении экспоненциального видеоимпульса напряжения черезRC-цепь, рассмотренную выше. В данном случае спектральная плотность входного сигнала и задача сводится к вычислению интеграла, входящего в выражение:

.

Раскладывая алгебраическую часть подынтегральной функции

на элементарные дроби, имеем:

.

Структура слагаемых, стоящих в правой части выражения в скобках, позволяет непосредственно использовать результат, полученный при вычислении импульсной характеристики RC-цепи, и записать решение при t>0:

(6)

Естественно, что при t<0

(7)

(10)

2.5. Геометрическая интерпретация процесса

Спектральный метод позволяет наглядно интерпретировать преобразования сигналов, которые происходят при их прохождении через линейные стационарные системы. Системный оператор T – это правило перехода от вектора некоторого линейного пространства к новому вектору. В самом общем случае можно считать, что операторT изменяет форму вектора в. Нормане будет равна

норме :

Кроме того, между векторами и возникает некоторый угол.

По формуле Рэлея, энергия выходного сигнала

, (16)

где -- энергетический спектр сигнала на входе.

В соответствии с формулой (16), выходной энергетический спектр .

(17)

Величину (17) называют частотным коэффициентом передачи по мощности системы на заданной частоте ω. Поскольку этот коэффициент вещественный, вычисление энергии выходного сигнала оказывается гораздо более простой задачей по сравнению с поиском самой формы выходного сигнала.

Теперь, рассмотрев различные методы анализа линейных цепей и сделав вывод о том, что наибольшую практическую пользу имеет спектральный метод анализа из-за своей простоты и наглядности, приступим к непосредственному расчёту сигнала на выходе линейного устройства. Расчёты приведены в следующих пунктах.

3. Расчёт амплитудного и фазового спектров входного сигнала.

В задании приведён входной сигнал. Он имеет следующий вид:

S(t)

t

рис.1

где с,c, B

Далее для нахождения спектральной плотности сигнала S(t) нам необходимо найти прямое преобразование Фурье . В нашем случае необходимо посчитать интеграл:

,

,

.

Это выражение необходимо путём преобразований привести к виду a+jb. В итоге получаем:

,

где

Таким образом, действительная часть спектра будет равна,а мнимая часть --. Знаменательоставлен для того, чтобы не усложнять конечные формулы действительной и мнимой частей.

Для построения амплитудного и фазового спектров сигнала приводим наше выражение к виду , гдеи-- модуль и аргумент спектра входного сигнала соответственно. В нашем случае,.

По этим данным строятся графики амплитудного и фазового спектров входного сигнала.

Амплитудный спектр входного сигнала

Фазовый спектр входного сигнала