1.5. Временной метод, или метод интеграла Дюамеля

Метод предполагает наличие импульсной и переходной характеристик h(t) и g(t) во временной области.

Пусть требуется определить отклик линейной цепи в момент времени t на входное воздействие . Разобьёмна короткие импульсы, как показано на рис.1,а. Если бы в момент временина линейную цепь воздействовала дельта-функция, то отклик на неё в момент временибыл бы равен величинеt_a (рис.1,б). Так как площадь короткого импульса равна , а не единице, как у дельта-функции, то отклик на него приравен. Для получения в момент времениt отклика на все элементарные импульсы, на которые разложен сигнал , необходимо по принципу суперпозиции просуммировать все элементарные отклики.

Чтобы образовать поддающуюся вычислению сумму, поступим следующим образом.

Отклик не изменится по величине, если его зафиксировать на зеркально отражённой импульсной характеристике в виде отрезка(рис.1,в). Тогда образуется интегральная сумма вида

(7)

рис.1.

Если в (9) заменить на, то получится другая форма записи интеграла Дюамеля:

(8)

В этом методе выходной сигнал сразу получается в виде искомой временной функции. Однако нахождение интегралов свёртки (9) или (10) для сложных функций может представлять существенные вычислительные трудности, что относится к недостатку метода.

Приведённые методы анализа прохождения сигнала через линейные цепи (за исключением классического) обладают тем общим свойством, что в них используется принцип суперпозиции. Входной сигнал разбивается на сумму элементарных сигналов (гармонических колебаний – в спектральном методе, затухающих по экспоненте гармонических колебаний – в операторном методе, коротких импульсов – во временном методе), далее с помощью той или иной характеристики цепи находится отклик на каждый элементарный сигнал и, наконец, определяется сумма откликов, представляющая собой выходной сигнал y(t). Следует также отметить, что спектральный метод чаще используется для анализа стационарного, а временной метод – переходного режима цепи.

2. Содержание спектрального метода анализа линейных устройств

2.1. Общие сведения

Говоря о спектральном методе анализа прохождения радиотехнических сигналов через линейные стационарные системы, обычно имеют в виду целый комплекс математических приёмов, в основе которых лежит использование свойств частотного коэффициента передачи системы.

Коэффициент передачи системы иначе называют частотной характеристикой или передаточной функцией.

Модуль передаточной функции K(ω) называют амплитудно-частотной характеристикой, а аргумент передаточной функции φ(ω) – фазо-частотной характеристикой.

После введения этих понятий K(jω) можно представить в следующем виде:

.

Передаточную функцию можно или рассчитать аналитически, или, если это затруднительно (например, для сложной цепи), получить экспериментально.

Спектральный метод анализа прохождения сигналов через линейные цепи нашёл широкое применение на практике благодаря известному свойству гармонических сигналов, на которые разлагается входное воздействие, не изменять свою форму при прохождении через линейные цепи, а также физической наглядности.

Перед тем, как перейти к детальному рассмотрению спектрального метода, необходимо обозначить границы его применения. Спектральный метод применим только к тем сигналам, для которых выполняются условия Дирихле и абсолютной интегрируемости. Теперь приступим к рассмотрению метода.