2.2. Основная формула

Пусть на входе некоторой линейной стационарной системы действует детерминированный сигнал S_вх(t), заданный обратным преобразованием Фурье:

Будем полагать, что известен частотный коэффициент передачи K(jω) системы. Как было доказано, комплексный сигнал вида , являясь собственной функцией системного оператора, создаёт на выходе элементарную реакцию. Суммируя эти реакции, находим представление выходного сигнала:

(1)

Получена основная формула спектрального метода, свидетельствующая о том, что частотный коэффициент передачи системы служит множителем пропорциональности между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе:

(2)

Итак, анализ систем в частотной области отличается замечательной чертой – эффект преобразования сигнала в системе отображается просто алгебраическая операция умножения.

Следует отметить, что спектральный и временной подходы полностью эквивалентны друг другу. Действительно, интеграл Дюамеля есть свёртка функции S_вх(t) и импульсной характеристики h(t) АО временной области : S_вых(t)=S_вх(t)h(t).

Практическая ценность спектрального метода нахождения входной реакции в каждом конкретном случае зависит от того, удаётся ли провести интегрирование в формуле (1).

2.3. Вычисление импульсных характеристик

Как правило, нахождение частотных коэффициентов передачи линейных систем не вызывает принципиальных затруднений. Поэтому если потребуется вычислить импульсную характеристику h(t) системы, то целесообразно воспользоваться методом, согласно которому

В качестве примера найдём импульсную характеристику RC-цепи, для которой сигналом служит напряжение на конденсаторе:

Здесь , поэтому импульсная характеристика

(3)

Случай t>0. Внутри замкнутого контура подынтегрального выражения функция имеет единственный простой полюс .

Контур интегрирования в (3) образован всей вещественной осью Im(ω)=0 и другой С₁ достаточно большого радиуса, которая может замыкаться как в верхней, так и в нижней полуплоскостях.

Вычет подынтегральной функции в точке ω_п:

.

Найдём функцию h(t) при t>0. Для этого расположим дугу С₁ в верхней полуплоскости, поскольку именно в этом случае функция будет экспоненциально стремиться к нулю с ростом радиуса дуги. В пределе контурный интеграл будет равен интегралу, вычисленному лишь вдоль оси в соответствии с формулой (3).

По теореме Коши, контурный интеграл от функции комплексной переменной равен числу 2jπ, умноженной на сумму вычетов подынтегральной функции во всех полюсах, которые лежат внутри контура интегрирования. Таким образом,

при t>0 (4)

Если же требуется найти импульсную характеристику при t<0, то контур интегрирования следует замкнуть в нижней полуплоскости, где подынтегральная функция вообще не имеет полюсов и поэтому

h(t)=0 при t<0 (5)

Представление разрывных функций с помощью контурных интегралов является математическим приёмом, широко используемым в теоретических исследованиях.