РОЗДІЛ 9. ОСНОВНІ РУХИ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТІЛА

9.1. Завдання руху твердого тіла

Система матеріальних точок називається незмінною, якщо відстані між будь-якими двома точками системи зберігаються постійними. Якщо незмінна система повністю заповнює деякий об'єкт, то таку механічну сис­тему матеріальних точок називають абсолютно твердим тілом. Для скоро­чення в подальшому будемо її називати просто простим тілом.

В кінематиці твердого тіла розв'язуються ті самі задачі, що і в кінематиці точки. Мова буде йти про завдання руху твердого тіла, про визначення швидкостей і прискорень його точок.

Будемо говорити, що рух твердого тіла задано, якщо існує спосіб визначення положення будь-якої його точки в будь-який мо­мент часу.

Для завдання руху твердого тіла достатньо задати рух трьох йо­го точок (А, В, С ), що не лежать на одній прямій (рис. 9.1).

Рис. 9.1

Дійсно, положення будь-якої точки D можна визначити за відстанями до цієї точки, які зостаються незмінними, до трьох заданих точок.

Положення точок А, В, С визначається дев'ятьма координатами

Ці дев'ять координат зв'язані між собою трьома рівняннями

(9.1)

Таким чином, тільки шість координат з дев'яти можуть бути задані незалежними. Останні три визнаються з рівнянь (9.1) через ці шість.

Замітимо, що завдання шести декартових координат - не най­кращий спосіб завдання руху твердого тіла. Як буде вияснено в пода­льшому, існують інші зручні величини, що визначають положення тіла в просторі.

Кількість незалежних величин, за якими можна одночасно встановити у вибраній системі координат положення твердого тіла g будь-який момент часу називається кількістю степенів вільності.

Якщо тверде тіло буде закріплено в якій-небудь точці, то його положення буде визначатися вже тільки трьома незалежними величи­нами.

В кожному окремому випадку будемо намагатись вибрати не­залежні величини, що задають рух твердого тіла, виходячи з міркувань простоти і зручності розв'язування задач кінематики.

9.2 Поступальний рух твердого тіла

Рух тіла , при якому відрізок прямої, що проходить через дві його довільні точки, рухається, залишаючись паралельним початко­вому положенню, називається поступальним.

Нехай, тверде тіло здійснює поступальний рух у нерухомій системі координат Оx₁y₁z₁. Пов'яжемо з тілом рухому систему ко­ординат Axyz. (рис. 9.2):

Рис. 9.2

Положення другої довільної точки В відносно точки А бу­демо визначати радіусом-вектором , а відносно точки О – радіусом-вектором (рис. 9.2). Отже,

(9.2)

де вектор - сталий як за модулем, так і за напрямом системи коор­динат згідно з означенням поступального руху тіла.

Нехай в момент часу t тіло займало положення 1. а в момент часу - положення II. Тоді - вектор переміщення точки В за проміжок часу _.

Оскільки, за час руху вектор не змінюється, то відрізки АВ і A₁B₁ рівні і паралельні і, отже, фігура АВВ₁А₁ - паралелограм.

Таким чином,

,

тобто, при поступальному русі твердого тіла переміщення всіх його точок геометричне рівні між собою.

Функції і описують траєкторії точок В і А відповідно. Від однієї траєкторії до іншої можна перейти паралельним перенесенням на сталий вектор , тобто траєкторії точок є конгруентними кривими.

Продиференціюємо рівність (9.2) за часом , але оскільки , то і, отже або згадуючи визначення швидкості, маємо:

(9.3)

Таким чином, при поступальному русі твердого тіла швид­кості всіх точок однакові як за напрямом, так і за модулем.

Продиференціюємо за часом рівність (9.3):

або ^(9.4)

Отже, при поступальному русі твердого тіла всі його точки рухаються з однаковим прискоренням.

Таким чином, при поступальному русі твердого тіла всі його точки рухаються однаково, оскільки їхні траєкторії конгруентні, а швидкості і прискорення геометричне рівні.

Отже, для визначення руху твердого тіла, що здійснює посту­пальний рух, немає необхідності розглядати рух всіх точок тіла, а до­статньо розглянути рух однієї точки тіла.

Тверде тіло, що рухається поступально, має три степені віль­ності, оскільки положення тіла може бути визначене завданням коорди­нат будь-якої точки тіла як функції часу.