9.4. Швидкості і прискорення точок тіла,що обертається навколо нерухомої осі

Нехай тіло обертається навколо нерухомої осі Oz з кутовою швидкістю , а М - довільна точка тіла (рис 9.5). Виведемо форму­лу для визначення вектора швидкості цієї точки.

Рис. 9.5 Рис. 9.6

Точка М при своєму русі описує коло радіуса р . Полярни­ми координатами є р і φ , причому .

Проекція швидкості на радіальний напрямок на поперечний напрямок . Тому маємо

^(9.11)

і направлений вектор по дотичній до кола, в бік руху точки.

Оскільки для всіх точок тіла ω має в даний момент одне і те саме значення, то згідно (9.11) швидкості точок тіла, що обертається навколо нерухомої осі, пропорційні їх відстаням до осі обертання (рис. 9.6).

Нехай - радіус-вектор точки М , тоді,

(9.12)

Підставивши (9.12) в (9.11), одержимо

, тобто модуль вектора швидкості дорівнює модулю векторного добутку .

З рис. 9.5 видно, що вектор збігається з вектором швидкості точки за напрямком.

Таким чином, маємо:

(9.13)

тобто, швидкість будь-якої точки твердого тіло , яке обертається навколо нерухомої осі, дорівнює векторному добутку вектора кутової швидкості на радіус-вектор цієї точки.

Формула (9.13) - одна з найважливіших в кінематиці і назива­ється формулою Ейлера.

Перейдемо тепер до визначення вектора прискорення довіль­ної точки тіла. Для цього, взявши похідну за часом від обох частин рівності (9.13). одержимо

де - кутове прискорення, - швидкість точки М.

Тоді

(9.14)

Рис. 9.7

Вектор направлений по дотичній до траєкторії точки (до кола радіуса р ), тобто паралель­ний швидкості, оскільки ве­ктор направлений по осі обертання (рис. 9.7). Ця складова прискорення нази­вається обертовим при­скоренням, тобто

(9.15)

Модуль обертового прискорення визначається за формулою:

(9.16)

де

Якщо обертання тіла прискорене, то вектор швидкості і ве­ктор обертового прискорення направлені в одну сторону, якщо обертання сповільнене, то вони направлені в протилежні сторони.

Вектор направлений в площині кола радіуса р від точки М до точки С, тобто направлений по нормалі до траєкторії.

Цей вектор

(9.17)

називається доосьовим прискоренням.

Так як вектор перпендикулярний до , то модуль доосьового прискорення дорівнює

(9.18)

Повне прискорення точки М буде

(9.19)

Кут між векторами і визначається за формулою:

^(9.20)

Так як для всіх точок, тіла ω і ε мають одне і те ж значення, то згідно формулам (9.19) і (9.20) прискорення точок тіла, що оберта­ється навколо нерухомої осі, пропо­рційні їх відстаням до осі обертання, а кут φ між повним прискоренням точки і доосьовим прискоренням для всіх точок один і той же (рис. 9.8).

Рис. 9.8

Питання для самоконтролю

І.Що називається кількістю степенів вільності?

2.Який рух твердого тіла називається поступальним?

З.Чи можуть точки тіла при поступальному русі описувати довільні

траєкторії?

4.Що називається законом руху твердого тіла навколо нерухомої осі.

5.Що називається кутовою швидкістю і кутовим прискоренням тіла?

6.Яка існує залежність між кутовою швидкістю тіла в 1/с і кіль­кістю його обертів за хвилину?

7.Як направлений вектор кутової швидкості в тілі і чому дорівнює його величина?

8. Як записуються формули для у вигляді векторних добутків?

9.Коли вектори і направлені в одну сторону, а коли в різні?

10. Як направлений вектор ?

11. Яку розмірність мають ω, ε, v, w ?

9.5. Методичні вказівки для розв'язання задач

При розв'язанні задач на обертання твердого тіла навколо не­рухомої осі часто буває доцільним додатний напрямок осі обертання вибрати таким чином, щоб була додатною величиною. В цьому випадку якщо обертання тіла прискорене, і , якщо обертання сповільнене. Тоді замість можна взяти ω, а замість можна взяти +ε або -ε .

Задача 9.1

Махове колесо радіуса R = 2м обертається рівноприскорено із стану спокою: через t₁ = 10с точки, що лежать на ободі колеса, мають ліній­ну швидкість v₁ = 100 м/с. Знайти кутову швидкість і кутове прискорення маховика, лінійну швидкість, до осьове і обертове прискорення точок ободу для моменту t₂ = 15с .

Розв'язання

Виберемо додатний напрям осі обертання маховика таким чином, щоб . В цьому випадку , так як маховик обертається рівноприскорено.

1. Визначення кутової швидкості і кутового прискорення маховика.

Кутова швидкість маховика , так як (маховик починає обертатись із стану спокою). Звідси знаходимо:

(а)

при t = t₁ кутова швидкість маховика

(б)

Підставивши (б) в ( а ), одержимо

Кутова швидкість маховика при t₂ = 15с

2. Визначення швидкості, доосьового і обертового прискорень точок ободу маховика (рис 9.9).

Рис. 9.9

Швидкість, доосьове і обертове прискорення точок ободу маховика визначаються за формулами:

(с)

Підставивши t₂ = 15с в ( С ), одержимо:

Задача 9.2

Визначити швидкість точок земної поверхні, що лежать на екваторі і на широті 60°, одержану внаслідок добового обертання Землі. Радіус Землі прийняти рівним 6000 км (рис. 9.10).

Рис. 9.10

Розв'язання

Кутова швидкість обертання Землі навколо своєї осі

Лінійна швидкість точок земної поверхні на екваторі

а на широті φ = 60°

РОЗДІЛ 10. ПЛОСКОПАРАЛЕЛЬНИЙ РУХ ТВЕРДОГО ТІЛА