- •9.1. Завдання руху твердого тіла
- •9.2 Поступальний рух твердого тіла
- •9.3. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі
- •9.4. Швидкості і прискорення точок тіла,що обертається навколо нерухомої осі
- •10.1. Кінематичні рівняння руху
- •10.2 Швидкості точок тіла при плоскопаралельному русі
- •10.3* План швидкостей
- •10.5 Прискорення точок тіла при плоскопаралельному русі
9.3. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі
Рух твердого тіла, що має дві нерухомі точки, називається обертальним навколо нерухомої осі, а пряма, яка проходить через ці нерухомі точки, називається віссю обертання (рис. 9.3).
Рис. 9.3 Рис. 9.4
Точки тіла, які не лежать на осі обертання, рухаються в площинах, перпендикулярних до цієї осі, описують кола, центри яких лежать на осі. Відстань точки тіла від осі обертання називається радіусом обертання.
Для визначення положення тіла проведемо через вісь обертання дві площини: нерухому площину Ах1y1 і рухому площину Axz, жорстко зв'язану з тілом (рис. 9.4).
При обертанні тіла, площина Axz обертається з ним і кут між площинами змінюється. Двогранний кут між нерухомою і рухомою площинами називається кутом повороту тіла.
Для однозначного визначення положення тіла введемо в розгляд одиничний вектор , направлений по осі обертання. Будемо вважати, що кут φ зростає, якщо з кінця вектора ми бачимо обертання тіла, що відбувається проти стрілки годинника, і спадає - якщо бачимо обертання тіла за стрілкою годинника.
Таким чином, положення твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, повністю визначається одним параметром
(9.5)
де - відома функція часу.
Співвідношення називається кінематичним рівнянням руху тіла, що обертається навколо нерухомої осі.
Кут повороту тіла, який відповідає числу п обертів, обчислюється за формулою:
(9.6)
де φ вимірюється в радіанах.
Введемо тепер поняття про кутову швидкість і кутове прискорення тіла.
Нехай в момент часу t кут між нерухомою і рухомою площинами дорівнює , а в момент часу (рис. 9.4). Це означає, що за проміжок часу рухома площина, а отже, і тіло повернулось на кут
Відношення кута повороту до проміжку часу , називається середньою кутовою швидкістю:
Границя цього відношення при називається кутовою швидкістю в даний момент чacу:
(9.7)
Введений в позначення кутової швидкості індекс Z підкреслює, що кутова швидкість може бути як додатною так і від'ємною в залежності від закону зміни кута .
Абсолютне значення кутової швидкості будемо позначати через ω , тобто,
Якщо кут повороту змінюється в радіанах, то розмірність кутової швидкості буде:
В техніці часто кутову швидкість при обертанні тіла з постійною кутовою швидкістю вимірюють кількістю обертів за хвилину. Залежність між кутовою швидкістю і кількістю обертів за хвилину визначається формулою:
де n - кількість обертів за хвилину.
Нехай тепер в момент часу t кутова швидкість обертання дорівнює , а в момент зміна кутової швидкості в проміжок часу буде . Тоді за
Середнім кутовим прискоренням будемо називати відношення зміни кутової швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася, тобто,
Границя цього відношення при називається кутовим прискоренням в даний момент часу:
(9.8)
Кутове прискорення, характеризуючи зміну кутової швидкості за одиницю часу, дорівнює похідній від кутової швидкості за часом або другій похідній за часом від кута повороті:
Розмірність кутового прискорення .
Досить корисним для подальшого вивчення кінематики твердого тіла є введення поняття вектора кутової швидкості і вектора кутового прискорення.
Вектором кутової швидкості твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, будемо називати вектор, чисельно рівний абсолютному значенню похідної за часом від кута повороту тіла і направлений вздовж осі обертання в той бік, звідки з його кінця видно поворот тіла, що проходить проти годинникової стрілки.
Нами вже був введений одиничний вектор . Якщо вектори направлені в один бік, то , якщо вони направлені в протилежні сторони, то .
Звідси випливає, що вектор кутової швидкості можна визначити за формулою:
(9.9)
Вектором кутового прискорення будемо називати вектор, що дорівнює похідній за часом від вектора кутової швидкості, тобто
(9.10)
де
З формули (9.10) випливає, що вектор направлений як і вектор , вздовж осі обертання.
Абсолютне значення кутового прискорення будемо позначати через ε , тобто
З формул (9.9) і (9.10) випливає, що кутова швидкість і кутове прискорення є відповідно проекціями векторів кутової швидкості і кутового прискорення на вісь Z.
Якщо і мають один знак, то обертання тіла прискорене, якщо різні знаки , то сповільнене, або якщо вектори і направлені в бік, то обертання тіла прискорене, якщо в протилежні боки - сповільнене.
Перейдемо тепер до знаходження швидкості і прискорення будь-якої точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі.