10.5 Прискорення точок тіла при плоскопаралельному русі

Нехай точка В - довільна точка плоскої фігури. Прискорення її

(10.6)

Швидкість точки В

(10.7)

де А - полюс.

Підставивши (10.7) в (10.6), одержимо

де

Таким чином, прискорення точок А і В зв'язані між собою співвідношенням.

(10.8)

Два останні члени в рівності (10.8) визначають прискорення точки В при закріпленні точки А. Тому їх сума визначає прискорення точки В відносно системи координат, зв'язаної з полюсом і рухається поступально від­носно нерухомої системи координат.

При вивченні обертання тіла навколо нерухомої осі ми вже вияснили як направлені складові вектора . Легко ще раз перекона­тись, користуючись правилом складання векторного добутку, що век­торний добуток має напрямок, що співпадає з вектором (від точки до полюса), а векторний добуток перпендикулярно . Збережемо за цими складовими старі назви доцентрового і обе­ртового прискорень, тобто:

(10.9)

Величини цих складових будуть

(10.10)

На рис. 10.12 геометрично складені три вектори і визначено прискорення точки В за формулою.

(10.11)

Рис. 10.12

для випадку . В випадку прискорення буде направлено в протилежну сторону.

Замітимо, що при розв'язанні задач, перш ніж будувати при­скорення точки за формулою (10.11), необхідно обчислити кутову швидкість тіла ω, його кутове прискорення ε і вибрати полюс. За полюс вибирається така точка, прискорення якої легко знаходиться з умов задачі. З виразів (10.10) знайдемо кут, що складає вектор з направленням на полюс (рис. 10.12):

Звідси видно, що цей кут, по-перше, не залежить від вибору полюса і, по-друге, для всіх точок при фіксованому полюсі однаковий.

Величина прискорення точки при обертанні фігури навколо полюса також знаходиться з (10.10)

(10.12)

Вона залежить від відстані точки до полюса.

Питання для самоконтролю

1. Який рух тіла називається плоским?

2. Тіло здійснює плоский рух. Який рух здійснює відрізок прямої, фіксований в тілі і перпендикулярний основній площі?

3. Чому замість вивчення плоского руху твердого тіла, достатньо ви­вчити рух однієї плоскої фігури, одержаної перерізом тіла площиною, парале­льною основній?

4. Напишіть кінематичні рівняння плоского руху.

5. Чи залежить кутова швидкість плоскої фігури від вибору полюса?

6. Яка існує залежність між швидкістю довільної точки плоскої фі­гури і швидкістю полюса?

7. В чому полягає теорема про проекції швидкостей двох точок пло­скої фігури на лінію, що їх з'єднує?

8. Що називається миттєвим центром швидкостей?

9. В чому полягає теорема про існування миттєвого центру швидко­стей?

10. Як визначається положення миттєвого центру швидкостей в різ­них випадках?

11. Що називається миттєво поступальним рухом?

12. Що необхідно знати для побудови плану швидкостей?

13. Яка існує залежність між прискоренням точки плоскої фігури і прискоренням полюса?

14. Що називається центроїдою?

10.6. Методичні вказівки для розв'язання задач

Якщо в задачі необхідно визначити швидкості точок плоскої фігури, то за полюс слід вибрати точку плоскої фігури, швидкість якої відома, або її можна визначити з умови задачі. В більшості задач, доці­льно за полюс вибрати миттєвий центр швидкостей. Розподілення швидкостей точок плоскої фігури в кожний момент така, ніби плоска фігура обертається навколо миттєвого центра швидкостей, тобто роз­поділення таке само, як в ланках, які здійснюють обертовий рух. Різ­ниця полягає в тому, що розподілення швидкостей точок плоскої фігу­ри проходить в кожний момент часу навколо нової точки (миттєвого центру швидкостей).

Кутова швидкість плоскої фігури визначається діленням швидкостей будь-якої точки цієї фігури на відстань цієї точки до мит­тєвого центра швидкостей.

При розв'язуванні задач спочатку розглядається ланка механі­зму, рух якого задано за умовою задачі. При переході до наступної ланки користуються рухом спільних точок ланок механізму.

В багатьох випадках розв'язування задач на визначення швид­костей точок плоскої фігури полегшується використанням теореми про рівність проекцій швидкостей двох точок на вісь, що проходить через ці точки.

Якщо в задачі вимагається визначити прискорення точок пло­скої фігури, то за полюс необхідно вибрати точку цієї ж фігури, при­скорення якої відомо, або його можна визначити з умови задачі.

Якщо за полюс вибрана точка А , то прискорення будь-якої ін­шої точки плоскої фігури (наприклад В ) визначається за формулою:

(а)

причому прискорення точки А може складатись з двох складових прискорень.

В формулу (а) входить декілька величин. Частину з них необ­хідно визначити, виходячи з умови задачі, щоб у формулі (а) залиши­лось не більше двох невідомих величин.

Проектуючи праву і ліву частини виразу (а) на дві координатні осі, одержимо два рівняння, з яких визначаються невідомі величини.

Задача 9.1

Кривошип ОА обертається з кутовою швидкістю навколо осі О нерухомої шестірні радіуса R і приводить в рух малу шестірню радіуса r (рис. 10.13). Визначити величину і напрямок швидкостей точок А, В, C, D i Е. якщо , а також кутову швидкість рухомої шестерні.

Розв'язання

Рухома шестерня здійснює плоский рух. Вона котиться без ковзання по нерухомій шестерні, тому , тобто точка В є миттєвим центром швидкостей рухомої шестерні. Швидкості точок A,D,E,C направлені перпендикулярно до відрізків, проведених з цих точок до миттєвого центра швидкостей в сторону обертання шестерні (рис. 10.13).

Рис. 10.13

Оскільки швидкості всіх точок плоскої фігури пропорційні їх відстаням до миттєвого центра швидкостей, то

^(а)

Точка А належить кривошипу, тому її швидкість

(б)

Підставивши (б) в (а), одержимо

Оскільки BE = ВС . то

Кутова швидкість рухомої шестерні визначається діленням швидкості будь-якої плоскої фігури на її відстань до миттєвого центра швидкостей, на­приклад

Задача 10.2

В двоповзунковому механізмі кривошип ОА = r обертається на­вколо осі О з постійною кутовою швидкістю (рис. 10.14):

Рис. 10.14

Довжина шатуна . При горизонтальному (правому) положенні кривошипа ОА визначити :

1. Швидкості точок В,С І D.

2. Кутові швидкості шатунів АВ і АС .

Розв'язання

Швидкість точки А кривошипа дорівнює і направлена перпендикулярно АВ в сторону обертання кривошипа.

В цьому механізмі шатуни АВ і CD здійснюють плоский рух.

Переходимо до розгляду ланки АВ . Встановивши перпендикуляри в точках А і В до напрямків швидкостей них точок (точка В рухається по горизонтальній прямій), переконуємось, що миттєвий центр швидкостей ша­туна АВ в даний момент часу збігається з точкою В (рис. 10.14). .

Із співвідношення

одержуємо, що

.

Кутова швидкість шатуна .

Оскільки швидкості точок C i D паралельні, то шатун CD здійс­нює миттєво-поступальний рух ( ).

В цьому випадку швидкості всіх точок шатуна геометрично рівні і

Задача 10.3

Визначити прискорення повзуна нецентрального кривошипно-шатунного механізму при , якщо його кривошип ОА обертається рівномірно з кутовою швидкістю , а ОА = ОС =r см, АВ = 5r (рис, 10.15).

Рис. 10.15

Розв'язання

За полюс приймемо точку А . Її прискорення направлено від точки А до точки О ( , оскільки ), а модуль прискорення

Шатун в заданому положенні механізму здійснює миттєво-поступальний рух, тому його кутова швидкість .

Прискорення точки В визначається за формулою:

(а)

оскільки

В формулі (а) залишилось дві невідомі величини . Вектор направлений вздовж осі X. а вектор - перпендикулярно прямій АВ . Вектор показаний на рисунку проти ходу стрілки годинника (по відношенню до полюса А ), тобто в припущенні, що . Для визначення невідомих величин спроектуємо (а) на осі X і Y відповідно

(б)

Звідси маємо

(в)

З рисунку знаходимо

^(г)

Підставивши (г) в (в), одержимо