Теорема 2 (практичний)

Для того щоб ф-на посл-сть {fn(x)} на множині Е рівномірно збіг до f(x) необх та дост щоб lim sup| fn(x)- (nбезк) E

f(x)|=0 (1) Доведення 1)Необхідність. Дано що



fn(x)f(x)

E Це означає що

для б-я Е >0 існує N натуральне таке що для б-я n>N і б-я х що належитьЕ: |fn(x)-f(x)|<E тобто

sup |fn(x)-f(x)|<=E

Тобто величину зліва можна зробити як завгодно малою. А це означ що виконується р-сть (1) 2)Достатність Дана р-сть(1). З цієї р-сті виплив що для б-я Е >0 існує N натур таке що для б-я n>N

sup |fn(x)-f(x)|<E тобто для б-я х що належитьЕ: |fn(x)-f(x)|<E . А значить ф-на посл-сть {fn(x)} збіг до f(x). Довели.

Опред-е равномерной сх-сти ф-ых рядов.

Теорема 1(Критерій Коши)

Для того щоб функ. ряд рівномірно збігався на мн. Е необх. і дост. щоб

ε>0  NN n>N xЄE : |_k=n+1^n+p U_k(x)< ε |

Теорема 2:

Для того, щоб функ. ряд U_n(x)рівн. збіг. на мн.Е необх. і дост. :

lim_n∞sup|r_n(x)|=0, де r_n(x)= _k=n+1∞U_n

Признак Виер-са: пусть для ф-ого ряда Un(x) вып-тся усл-ия:

1).xєE,|Mn(x)|≤Cn,Cn-число̣

2)числ̣ряд Сn(i=1,n)-сходится,тогда данный ф-ый ряд равномерно сходится на мн-ве Е.

Док-во:из2) npСk(k=n+1,n+p).(критерий Коши для рядов). Из 1)xnpUn(x)

Uk(x)Ck1,(k=n+1,n+p),а это значит, что ф-ный ряд равномерно сх-тся на Е, согласно критерию Коши. Заметим, что когда выпол-ся усл-ия теоремы, то ряд сх-тся и абс-но.Это из н-в(1).

Признак Дирихле.

Зам-ние:ф-ная посл-сть{fn(x)}наз-ся равн-но огран-ой на мн-ве Е,если x fn(x). Пусть для Un(x)*Vn(x) (1),(n=1,∞) вып-ся усл-ия:1.Посл-сть част. сумм {Sn(x)} ряда Un(x),(n=1,), равн-но огран-на на мн-ва Е.

2).xE, посл-сть{Vn(x)} явл-ся невозрост-ей(неубыв-ей),т.е.xE)nN:Vn(x) Vn+1(x),(Vn(x)Vn+1(x))

3)Vn(x)0, тогда (1) равн-но сх-тся на мн-ве Е.

Признак Абеля:

1)ф-ный ряд равн-но сх-тся на Е.

2)вып-ся признак Дирихле.

3)ф-ая посл-сть Vn(x) равн-но огран-на на Е. Тогда ф-ный ряд (1) равн-но сх-тся на мн-ве Е.

Св-ва равн-но сходимых рядов.

1:непрер-сть суммы ряда и переход почленный к границе.

Т.1:пусть вып-тся усл-ия:

1)Un(x)S(x),(n=1,)

2)Un(x)(n=1,2,…) непрер-на в т.х0E, тогда 1)S(x)непрер-на в т.х0.

2)lim(Un(x))=(limUn(x)),

(n=1,)(*).Покажем,что S(x) непрер-на в т.х0. Рассмотрим модуль: |(S(x)-S(x0))+(Sn(x)-Sn(x0))+(Sn(x0)-S(x0))||S(x)-Sn(x)|+|Sn(x)-Sn(x0)|+|Sn(x0)-S(x0)|(1)

>0NN xE|Sn(x)-S(x)|< /3.(2) Для х=х0|Sn(x0)-S(x0)|<(3). |x-x0|<:| Sn(x)-S(x0)|(4).Из (1)-(4)|Sn(x)-Sn(x0)|<. S(x) непр-на в т.х0. Поскольку ф-ии S(x),Un(x)непр-ы в т.х0, то lim S(x)=S(x0), lim Un(x)=Un(x0) (xx0).

Cледствие:еслиUn(x),

(n=1,) равн-но сх-тся,Un(x)непрер-на на мн-ве Е,тогда сумма ряда явл-ся непр-ой на мн-ве Е.