Теорема 3.(про умовно-збіжний числовий ряд)
Нехай числовий ряд ∑an (1) умовнозбіжний, тоді члени цього ряду можна представити так, щоб одержаний ряд буде збігатися так, що його сума = S (довільне число)
Доведення:Введемо допоміжні ряди ∑Un (2) і ∑Vn (3), де ряд (2) складений з невід'ємних членів (1), записаних в тому ж порядку; ряд (3) складено з модулів від'ємних членів ряда (1). Sn - n-та частинна сума невід'ємних членів ряда (1), що входять в Un (Sn); Vn - сума модулів від'ємних членів ряда (1), що входять в суму (1). Sn=Un-Vn.
Оскільки ряд (1) збігається умовно, то мають місце:
limn (Un-Vn)=A (A=const) limn (Un+Vn)=∞ =>
limn Un=0.5 limn [(Un-Vn)+(Un+Vn)]=∞ limn Vn= limn (Un-Sn)=∞
Ряди (2) і (3) - з невід'ємними членами, які є розбіжними.
Знайдемо S:
Sn1*=∑n1i=1Ui>S, де S-дов.число.Для визначенності візьмемо його додатнім.Sn1+1*= (якщо n1>1).
Візьмемо n2 таким,щоб :Sn1,n2*= <S Sn1,n2-1*=
візьмемо n3: Sn2,n3* =Sn1*+ >S Sn2,n3-1*= Sn1,n2*+ S (n3>n1+1)
Одержимо послідовність нерівностей:
Sn1*>S, Sn1,n2*<S, Sn2,n3*>S, Sn3,n4*<S (n1<n3<n5<… n2>n4>n6>…)
Таким чином одержали послідовність: { Snn,nn+1*}
З побудови цієї послідовності випливає, що Snn,nn+1* відрізняється від числа S не більше ніж на свій останній доданок S- Snk,nk+1
Оскільки ряд (2) є збіжним, то з необхідної умови збіжності випливає Snk,nk+1=S
Зауваження: члени умовно збіжного ряду можна переставити так, що його сума0
Функціонал послід-сті
Якщо кожному натуральномучислу n за деяким законом поставлена у відповідність ф-ія fn(x) визначена на Е множині,то говорять що на множині Е задана ф-на посл-сть {fn(x)}.ЗафіксуємХ=Х0 тоді одержимо числову посл-сть
{fn(x0)}.Якщоця посл-сть є збіжноюто говорять що ф-на посл-сть збіг в х0.
Якщо ф-на посл-сть збіг в кожній точці множини Е
То говорять що вона збіг на цій множині.Множина всіх значень х при яких ф-на посл-сть збіг наз областю збіжності посл-сті. Множина всіх значень х при яких визначені всі ф-ції fn(x) наз областю визначення ф-ної посл-ті.
Означення
Ф-на посл-сть {fn(x)} на множині Е наз збіжною до f(x) , якщо б-я Е >0 існує N(E,X) натуральне таке що для б-я n>N: |fn(x)-
F(x)|<E
Означення
Ф-на посл-сть {fn(x)} на множині Е наз рівномірно збіжною до f(x) , якщо б-я Е >0 існує N(E,X) натуральне таке що для б-я n>N і б-я х що належитьЕ: |fn(x)-f(x)|<E
Геометричн зміст рівном збіжності
З геометр точки зору рівном збіжність ф-ної посл-сті означ що для б-я Е >0 існує N натуральне таке що для б-я n>N графіки ф-ції у=fn(x) містяться в смузі завширшки 2Е побуд навколо графіка ф-ції у=f(x).
Якщо посл-сть |fn(x) збіг з f(x) на множині E то це познач так
fn(x)f(x)
E
Якщо посл-сть |fn(x) збіг з f(x)
рівномірно на множині E то це познач так
fn(x)f(x)
E
Критерій рівномірної збіжності ф.посл.
Теорема1
(Критерій Коші)
Для того щоб
ф-на посл-сть {fn(x)} на множині Е рівномірно збіг до f(x) необх та дост щоб (1)
для б-я Е >0 існує N натуральне таке що для б-я n>N і б-я р натурального і б-я х що належитьЕ: |fn+p(x)-fn(x)|<E
Доведення
1)Необхідність
Дано що
fn(x)f(x)
E
Це означ що для б-я Е >0 існує N натуральне таке що для б-я n>N і б-я х що належитьЕ: |fn(x)-f(x)|<E/2 (2)
Б-я n>N і б-я р натуральне тобто
n+p>N тобто |fn+p(x)-f(x)|<E/2 (3).З нерівностей (2) і(3) випливає |fn+p(x)-fn(x)|= |fn+p(x)-f(x)+ (f(x)-fn(x))| <= |fn+p(x)-f(x)|+ |(fn(x)-f(x)|<E
2)Достатність. Дано(1).Перейдемо до границі коли р прямує до безкінченності. Тоді одержимо що | ф-на посл-сть {fn(x)} на fn(x)|<=E (5).Оскільки твердження(1) при фіксов х означає що критерій Коші для числової посл-сті виконаний і сама посл-сть є збіжн. Тоді в результаті одержимо що для б-я Е >0 існує N натуральне таке що для б-я n>N і б-я х що належитьЕ: |fn(x)-f(x)|<=E <2E. Аце означає що ф-на посл-сть збіг до f(x).Довели.