Возможное решение.

Оценив длину собственного шага, найдем расстояние:

l  50 см = 0,5 м.

L=lN, где N – количество шагов.

Тогда, искомое расстояние L  0,51000000; L  500000 м = 500 км.

При средней скорости движения человека в 5 км/ч время его движения составит:

t =  = 100 ч  4 суток.

Среднюю скорость движения учащиеся могут оценить экспериментально, как и длину собственного шага.

Задание 2. Представим, что вокруг земного шара по экватору обвязана лента. Возьмем эту ленту и пришьем к ней еще 1 метр, а затем снова придадим этой ленте форму окружности. Если раньше лента плотно прилегала к земной поверхности, то теперь между лентой и землей образовался зазор. Оцените, сможет ли сквозь получившийся зазор между лентой и земной поверхностью пролезть мышь?

Решение.

Решим теперь задачу строго. Для этого надо помнить только формулу длины окружности.

Первоначальная длина ленточки, плотно охватывающей Землю, равна длине экватора

l = 2πR, где R - радиус Земли.

Длина получившейся ленточки после её удлинения на 1 м:

L = 2πR + 1.

Эту же длину можно записать так: L = 2π(R+h),

где h – изменение длины радиуса, т.е. высота зазора между лентой и земной поверхностью.

Составим и решим уравнение.

2πR+1 = 2π(R+h);

2πR+1 = 2πR+2πh; 1 = 2πh;

Вычислим:

Итак, ленточка будет располагаться над Землёй на высоте почти 16 см, значит, под ней пролезет не только мышка, но и кошка.

Задание 3. Оцените, сколько футбольных мячей поместится в классной комнате?

Возможные решения.

а) для начала оценим объем классной комнаты и объем занимаемый одним футбольным мячом:

Объем классной комнаты V = abc, как объем параллелепипеда, где а – длина, b – ширина, а с – высота. А объем, занимаемый одним мячом, при плотной упаковке с учетом пустот, будет равен объему куба с ребром, равным диаметру мяча.

Допустим, что диаметр мяча d  20 см. Тогда объем мяча v = d³  0,008 (м³), а объем классной комнаты V 8м  6м  3м  144 м³.

Чтобы определить число мячей, необходимо найти отношение объемов:

.

При хорошей подготовленности группы предложите учащимся оценить объем воды, которым можно заполнить наполненную мячами классную комнату.

б) Оценим объем пустот между мячами.

Для этого найдем объем мяча по формуле вычисления объема шара

v = πR³  0,0042м³.

Полученный объем умножим на количество мячей V_м=v  N  0,0042м³  18000 = 75,6м³, что составляет около половины объема классной комнаты.

Задачи–парадоксы.

Задание 1. Одинаковое ли время затратит теплоход на движение из пункта А в пункт В и обратно по озеру и по реке? Как влияет на это скорость течения?

Решение. Пусть теплоход, имеющий собственную скорость v, плывет вниз по реке, скорость течения которой равна u. Прибыв на конечный пункт, теплоход поворачивает и движется обратно. Расстояние между пунктами равно L.

При движении теплохода вниз по течению он получает выигрыш по времени за счет течения реки, который при движении против течения теряется, так как увеличение скорости теплохода в первом случае равно ее уменьшению во втором.

Поэтому, казалось бы, течение реки никак не должно сказаться на времени движения теплохода туда и обратно, как и скорость течения.

Вычислим время движения теплохода по озеру: t₀ = = .

Время движения по реке: t_p = t₁ + t₂, где t₁ и t₂ - время движения теплохода туда и обратно, соответственно. Тогда: t_p = + = .

Сравним время движения по реке и по озеру: = .

Поскольку знаменатель полученной дроби меньше числителя, то время движения по озеру будет всегда меньше, чем по реке. Причем, чем больше скорость реки, тем разница больше.

А если скорость течения будет равна собственной скорости теплохода, то знаменатель дроби обращается в ноль, а отношение времен стремится к бесконечности, то есть, при таком условии теплоход, спустившись по реке, не сможет вернуться обратно.

Ответ: время движения по озеру будет всегда меньше, чем по реке (при условии, что скорость течения реки не равна собственной скорости теплохода).

Задание 3. Определите среднюю скорость теплохода из предыдущей задачи, если собственная скорость теплохода - 6 км/ч, скорость течения реки - 2 км/ч, а расстояние от пункта А до пункта В - 24 км.

Решение. Обычно дают ответ: v_cp = , то есть, для нашего примера v_cp = = 6(км/ч). Но так ли это?

По определению средней скорости неравномерного движения: ,

то есть, для нашей задачи , где t₁ = и t₂ = , где v₁=(v + u) и v₁=(v–u).

На весь путь будет затрачено время : t = t₁ + t₂ = + = , а средняя скорость

v_cp = = = = = = v - .

Для нашего примера: v_cp = 6 - 5,3 (км/ч).

Из полученного результата видно, что средняя скорость меньше среднего арифметического значения скоростей.

Ответ: v_cp 5,3 км/ч