4. Машинные коды чисел.

В компьютерах все арифметические операции осуществляются в машинных кодах и могут быть сведены к операции сложения и операциям сдвига вправо или влево. Обычно применяются прямой, обратный и дополнительный коды.

Представление чисел в прямом коде осуществляется в виде знакового разряда и абсолютной величины числа.

Задача.

+29₁₀ = 00111101₂ -29₁₀ = 10111101

+127₁₀ = 01111111₂ -127₁₀ = 11111111₂

Для представления отрицательных чисел или замены операции вычитания на сложение используются обратный и дополнительный коды.

Сущность этих кодов заключается в том, что вычитаемое число Х, как отрицательное число, представляется в виде дополнения до некоторой константы С, такого, что С – Х >0. Обратный и дополнительный коды отличаются выбором этой константы.

Для дополнительного кода отрицательное число Z представим как

Z = -Х = (10ⁿ –Х) - 10ⁿ,

где Z <0, Х>0, n – величина разрядной сетки, а 10ⁿ –Х –дополнительный код числа.

Для обратного кода отрицательное число Z представим как

Z = -Х = (10ⁿ – 1 - Х) - 10ⁿ +1,

где Z <0, Х>0, n – величина разрядной сетки, а 10ⁿ – 1 - Х –обратный код числа.

Для положительного числа прямой, обратный и дополнительный коды будут одинаковыми А^п =А^о =А^д.

Задача.

Для числа +31→А^п =А^о =А^д =0000 0000 0001 1111₂.

Для числа -31→ А^п =1000 0000 0001 1111₂.

Для построения дополнительного кода выбираем константу 10¹⁵= 1000 0000 0000 0000 и получаем А^д =1111 1111 1110 0001₂.

Общие правила образования машинных кодов:

-положительное число в прямом, обратном и дополнительном кодах одинаково;

-прямой код отрицательных и положительных чисел имеет различие только в знаковом разряде, модуль числа не меняется;

-обратный код отрицательного числа получается из прямого кода путем инверсии, т.е. замены 1 на 0 и всех 0 на 1, кроме знакового разряда;

-дополнительный код получается из обратного прибавлением 1 к младшему разряду (перенос 1 в знаковый разряд не учитывается);

-дополнительный код отрицательного числа получается из прямого кода заменой всех 1 на 0 и всех 0 на 1, кроме 1 самого младшего разряда и следующих за ней 0.

Обычно в компьютере числа в естественной форме записи хранятся в дополнительном коде, а числа в нормальной форме хранятся в прямом коде. Обратный код применяется для получения дополнительного кода.

1. Арифметические действия над машинными кодами.

Выполнить действия над числами в естественной форме в формате Н:

Задача 1.

Даны два числа А₁₀ = 126 и В₁₀ = 267. Необходимо найти сумму этих чисел при разных знаках. Для этого перевести А₁₀→ А₁₆→ А₂ и В₁₀→ В₁₆→ В₂.

А = 7Е₁₆ =11 1110₂;

В = 10В₁₆ = 1 0000 1011₂.

В формате Н эти числа имеют следующий вид:

А^п = 0.000 0000 0111 1110; В^п = 0.000 0001 0000 1011;

-А^д = 1.111 1111 1000 0010; -В^д =1.111 1110 1111 0100;

Выполнить сложение чисел, используя соответствующие коды.

А+В = S1

А^п = 0.000 0000 0111 1110

+ В^п = 0.000 0001 0000 1011

S1 =

-А-В = S2

-А^д = 1.111 1111 1000 0010

+(-В^д ) =1.111 1110 1111 0100

S2 =

А-В = S3

А^п = 0.000 0000 0111 1110

+(-В^д ) =1.111 1110 1111 0100

S3 =

-А +В = S4

-А^д = 1.111 1111 1000 0010

+В^п = 0.000 0001 0000 1011

S4 =

При получении сумм S2 и S4, образовался перенос из знакового разряда, который следует отбросить.

Проверить правильность полученных результатов, осуществив сложение в десятичной системе и сравнив результаты с S1, S2, S3, S4:

А+В = 393₁₀ = 189₁₆ = 0.000 0001 1000 1001₂;

-А-В = -393₁₀ = -189₁₆ = 1.111 1110 0111 0111₂;

А-В = -141₁₀ = -8D₁₆ = 1.111 1111 0111 0011₂;

-А+В = 141₁₀ = 8D₁₆ = 0.000 0000 1000 1101₂.

Задача 2.

Даны два десятичных числа А = 27154 и В = 7589. Найти суммы (А+В) и (-А-В) в формате Н.

А = 6А12₁₆ = 0.110 1010 0001 0010; В = 1DА5₁₆ = 0.001 1101 1010 0101₂

Вычислим для этих чисел соответствующие прямые и дополнительные коды:

А^п = 0.110 1010 0001 0010; В^п = 0.001 1101 1010 0101;

-А^д = 1.001 0101 1110 1110; -В^д = 1.110 0010 0101 1011.

Найдем суммы:

А+В = S1 А^п = 0.110 1010 0001 0010

+

В^п = 0.001 1101 1010 0101

S1 =

-А-В = S2 -А^д = 1.001 0101 1110 1110

+

-В^д = 1.110 0010 0101 1011

S2 =.

Проверить результат посредством сложения в десятичной системе.

Полученные суммы не соответствуют результатам проверки, т.к. при сложении положительных чисел получили отрицательное S1 и при сложении отрицательных чисел получили положительное S2. Это происходит в результате переполнения разрядов и при появлении такой ошибки операционная система компьютера вырабатывает запрос на прерывание программы.