58. Методы главного критерия, свертки, идеальной точки, целевого прогр. Метод главного критерия

Суть метода состоит в том, что ЛПР выделяет главный критерий (далее f₁(X)), а на остальные критерии накладывает требования, что они были не меньше задаваемых им минимальных (пороговых) значений t_i. Тогда многокритериальная задача сводится к однокритериальной задаче

(10.16)

Если эта задача разрешима, то ее решение всегда является слабо эффективным, а если оно единственно, то и эффективным. Заметим, что этот вывод не зависит от выбора главного критерия. Рис.10.7 иллюстрирует случай единственного решения задачи (10.16), а рис.10.8 – множества оптимальных решений, лежащего на границе ab, из которого только точка а является эффективной.

Практически задачу (10.16) решают для нескольких наборов значений {t_i}, и затем на основании анализа полученных (слабо) эффективных решений ЛПР определяет наиболее предпочтительное из них.

Р ассмотренный метод целесообразно применять, когда ЛПР может обоснованно назначить значения t_i или указать узкие пределы для них.

Линейная свертка

Если ЛПР может не только ранжировать критерии, но и дать сравнительную количественную оценку значимости (важности) критериев, решение многокритериальной задачи сводится к обычной задаче с одним критерием, в качестве которого берется обобщенный показатель вида

, (10.17)

где С_i- положительные числа, отражающие веса критериев в структуре предпочтений ЛПР. При групповом ЛПР C_i находятся по индивидуальным весам одним из методов обработки экспертных оценок. Обычно значения С_i нормируются так, чтобы =1. Как следует из теоремы 5, точка максимума функции (10.17) при положительных С_i является эффективной.

Данный способ решения многокритериальной задачи имеет существенные недостатки. Во-первых, большие затруднения возникают при определении весов. Одно дело – расположить критерии по важности, и совсем другое - оценить на сколько или во сколько один критерий важнее другого. Во-вторых, неизвестна связь между значениями весов и значениями критериев в точке максимума F(Х). Очень часто эта зависимость оказывается существенно нелинейной (даже в линейных задачах), включая зоны нечувствительности значений f_i к изменению C_i. Поэтому для получения решения, удовлетворяющего ЛПР, приходится максимизировать F(X) для нескольких наборов С_i. Наконец, заметим, что в свертке (10.17) целесообразно все критерии приводить к одним единицам измерения. С этой целью лучше представлять критерии в относительных единицах, беря за базовое максимальное или желаемое значение. Достоинство метода – в стандартности задачи, к которой сводится исходная многокритериальная проблема.

Пример 10.1. Рассмотрим задачу линейного программирования с тремя критериями: максимизировать

f₁(X)=-3x₁+ 2x₂,

f₂(X) = 4x₁₊ 3x_2,

f₃(X)=2x₁-5х₂

при условиях

2x₁+3x₂ 18,

2x₁+x₂ 10,

x₁,x₂ 0.

Допустимая область и линии равного уровня критериев показаны на рис.10.9. Максимальное значение функции f₁(X) равно 12 и достигается в точке А(0,6), при этом =18, =-30; max f₂(X)=24 в точке В(3,4), где =-1 и =-14; mах f₃(Х)=10 в точке С(5,0), в которой =-15 и =20. Если взять свертку с равными весами, то есть

то результат максимизации F(Х), как легко убедиться, совпадает с максимизацией одной функции f₃(Х). Таким образом, при равных весах решение по линейной свертке дает наилучшее значение f₃ и наихудшее для f₁. Используя параметрическое программи­рование, можно определить диапазон значений C_i (зону нечувствительности), в котором оптимальное решение по F(Х) будет оставаться в точке С.