- •1.Основные понятия и этапы са
- •2. Операция и ее составляющие. Этапы исо
- •Этапы операционного проекта
- •Виды математических моделей ио, примеры.
- •4. Состязательные задачи. Решение игры 2-х лиц
- •7. Примеры задач лп: игра 2-х лиц как задача лп, транспортная задача
- •В общем случае модель задачи лп имеет вид
- •Сбалансированная транспортная задача
- •8 Формы представления задач лп и способы приведения к ним
- •1. Каноническая форма задач лп
- •2. Стандартная форма задачи лп
- •9. Основные понятия лп. Свойства задач лп
- •10. Геометрия задач лп, базисные решения, вырожденность.
- •4.7. Выделение вершин допустимого множества
- •11. Понятие базиса. Переход от одного базисного решения к другому
- •12. Признак оптимальности. Определение начального базисного решения.
- •13. Алгоритм симплекс-метода
- •14. Двойственность задач лп
- •4.11.1. Запись двойственной задачи в симметричном случае
- •4.11.3. Запись двойственной задачи в общем случае
- •15.Экономическая интерпретация двойственной задачи
- •16. Теоремы двойственности
- •17. Двойственный и модифицированный симплекс-метод Модифицированный алгоритм
- •18. Параметрический анализ. Параметрирование вектора ограничениий
- •Параметрирование вектора ограничениий
- •19. Параметрирование коэффициентов линейной формы
- •20. Модели транспортных задач и их характеристика, условия разрешимости.
- •Простейшая транспортная задача (т-задача)
- •Транспортная задача с ограниченными пропускными способностями (Td - задача)
- •Транспортные задачи по критерию времени
- •21. Построение начального плана перевозок т-задачи
- •5.2.1. Построение начального плана перевозок
- •Правило северо-западного угла
- •Правило минимального элемента.
- •22.Обоснование метода потенциалов
- •5.2.3. Признак оптимальности
- •23. Алгоритм метода потенциалов.
- •24. Двойственная пара транспортных задач
- •25. Метод потенциалов для Td-задачи
- •5.5. Решение задачи по критерию времени
- •26. Приведение открытой транспортной задачи к закрытой
- •27. Транспортные задачи в сетевой постановке (транспортные сети)
- •28. Задача о максимальном потоке
- •29. Метод декомпозиции Данцига - Вулфа
- •30. Решение транспортной задачи методом Данцига-Вулфа (метод декомпозиции тз)
- •32. Целочисленное программирование
- •7.1. Проблема целочисленности
- •33. Метод отсечений
- •Пример 7.1. Выведем условие отсечения для задачи
- •34. Метод ветвей и границ
- •35. Аддитивный алгоритм
- •36. Нелинейное программирование
- •Теорема
- •37. Квадратичное программирование
- •38. Сепарабельное программирование (сп) и дробно-линейное программирование
- •8.5. Задачи дробно-линейного программирования
- •39. Метод покоординатного спуска и Хука-Дживса Метод первого порядка
- •8.8. Многомерный поиск безусловного минимума
- •8.8.1. Метод Гаусса-Зейделя (покоординатного спуска)
- •Метод Хука-Дживса (метод конфигураций) Метод первого порядка
- •Метод Хука-Дживса (метод конфигураций)
- •40. Симплексный метод поиска
- •41. Градиентные методы
- •Методы сопряженных направлений
- •43. Методы случайного поиска
- •Алгоритм с возвратом при неудачном шаге
- •Алгоритм с обратным шагом
- •Алгоритм наилучшей пробы
- •Алгоритм статистического градиента
- •44. Метод проектирования градиента
- •Метод проектирования градиента
- •45. Генетические алгоритмы
- •46. Метод штрафных функций и барьерных функций
- •Метод барьерных функций
- •47. Динамическое программирование
- •48. Распределение одного вида ресурса
- •49. Дп: задачи о кратчайшем пути и с мультипликативным критерием
- •Задача с мультипликативным критерием.
- •52. Многомерные задачи динамического программирования
- •53. Снижение размерности с помощью множителей Лагранжа
- •56. Многокритериальные задачи: постановка, проблемы, осн. Понятия, методы
- •Многокритериальная задача математического программирования
- •Где искать оптимальное решение
- •Определения
- •Условия оптимальности
- •57. Многокритериальные задачи: функция полезности, лексикографический анализ
- •Методы первой группы
- •Функция полезности
- •Решение на основе лексикографического упорядочения критериев
- •58. Методы главного критерия, свертки, идеальной точки, целевого прогр. Метод главного критерия
- •Линейная свертка
- •Максиминная свертка
- •Метод идеальной точки
- •Целевое программирование (цп)
- •59. Диалоговые методы решения задач по многим критериям
- •Метод уступок
- •Интерактивное компромиссное программирование
- •Построить таблицу
8 Формы представления задач лп и способы приведения к ним
1. Каноническая форма задач лп
Задача ЛП представлена в канонической форме, если в ее модели все функциональные условия имеют вид равенств и все переменные ограничены по знаку. Направление цели не имеет существенного значения, но для однозначности канонического представления будем иметь в виду максимизацию критерия. Тогда модель задачи ЛП в канонической форме записывается следующим образом
Если использовать векторно-матричные представления, то получим
L = max
или
где верхний индекс T означает транспонирование; – вектор коэффициентов целевой функции; – векторы условий, j= – вектор ограничений или вектор свободных членов, иногда используют сокращение ССЧ (столбец свободных членов);
– матрица условий; – вектор переменных; – число переменных в канонической форме, оно не меньше числа переменных в исходной модели
Любую задачу ЛП можно привести к каноническому виду. Возможны 3 случая несоответствия исходной модели каноническому представлению. В каждом из них простое преобразование позволяет получить требуемый вид.
1.Если в исходной постановке критерий минимизируется, то изменив знак критерия на обратный, приходим к задаче максимизации, т.е. если то
2.В исходной модели есть неравенства. При этом способ преобразования зависит от знака неравенства. В случае неравенства очевидно, что разность правой и левой части будет неотрицательной и неизвестной величиной, которую можно принять за новую переменную:
Отсюда получаем следующее равенство:
Таким образом, чтобы привести рассмотренное неравенство к равенству, нужно к левой части неравенства прибавить новую переменную.
Аналогично поступаем с неравенством Но теперь новая переменная обозначает разность левой и правой части
и равенство записывается в виде
то есть чтобы неравенство типа “больше или равно” привести к равенству, следует из левой части вычесть новую переменную. В отличие от исходных переменных такие вновь вводимые переменные будем называть дополнительными. Нетрудно видеть, что они по определению являются неотрицательными, что соответствует каноническому представлению модели.
3.Некоторые переменные исходной модели не имеют ограничения на знак. Исключение таких переменных производится следующим способом.
Пусть – переменная, которая может иметь любой знак. Введем две неотрицательные переменные и во всей модели заменяем их разностью:
Таким образом, последние два случая преобразования к каноническому виду приводят к увеличению числа переменных, и поэтому всегда
Пример 4.1. Исходная модель:
Каноническая модель:
2. Стандартная форма задачи лп
Точные методы решения задач ЛП ориентированы на каноническую форму записи модели. Однако в геометрических представлениях удобнее стандартная форма. Мы будем понимать под стандартной модель, в которой все функциональные ограничения имеют вид неравенств и все переменные неотрицательные. Как и выше, тип экстремума не имеет существенного значения.
Таким образом, стандатрная форма модели имеет вид
Та же модель в векторно-матричных обозначениях:
L = max
или
Здесь символ / означает “или”. Число переменных при отсутствии неограниченных по знаку переменных не больше Соответственно матрица и вектор имеют меньшие размеры, чем в канонической модели.
Поясним преобразование равенств в неравенства. Пусть в исходной модели имеется q равенств. Решив эту систему уравнений относительно первых q переменных, получим
Используя эти равенства, исключаем из целевой функции и ограничений, уменьшая тем самым количество переменных на q. Однако число ограничений не изменяется, так как для сохранения неотрицательности исключенных переменных должны выполняться неравенства
Таким образом, все ограничения задачи будут записаны в виде неравенств.