59. Диалоговые методы решения задач по многим критериям

Главный недостаток рассмотренных выше методов состоит в том, что в большинстве реальных ситуаций ЛПР не располагает до решения задачи информацией о ее свойствах, достаточной для надежного назначения требуемых от него величин. Поэтому, как правило, этими методами не удается за один раз получить приемлемое решение. А многократное применение с корректировкой назначаемых величин фактически переводит их в разряд интерактивных, но не приспособленных для дружественного общения с ЛПР, методов.

Интерактивный процесс решения многокритериальной задачи реализуется путем диалога ЛПР с компьютером. При этом происходит чередование этапов вычислений, выполняемых компьютером, и корректировки и принятия решений ЛПР. Такая процедура позволяет ЛПР более полно и глубоко оценить взаимосвязи критериев и возможности оптимизируемой системы. Более того, в интерактивном процессе может развиваться формирование предпочтений, компромиссов и даже системы ценностей. Все это облегчает ЛПР нахождение решения, наилучшего с его точки зрения, и повышает уверенность в правильности выбора. Поэтому такая технология оказывается более реалистичной, более гибкой и более приемлемой для руководителей.

Многочисленные интерактивные процедуры предлагают разные схемы решения многокритериальной задачи и предъявляют неодинаковые требования к ЛПР. При прочих равных условиях (сходимость, затраты ресурсов и др.) предпочтительнее те процедуры, которые генерируют только эффективные решения и вызывают у ЛПР меньше затруднений в выражении своих предпочтений.

Метод уступок

Предварительно ЛПР ранжирует критерии по важности. В результате критериям присваиваются номера в порядке убывания важности. После этого начинается основная часть диалога. Решается задача максимизации первого критерия при Х D. Если задача имеет множество оптимальных решений, то на нем ищется решение, наилучшее по второму критерию. Если и оно не единственно, то включается третий критерий, и так до достижения единственного решения. Иначе говоря, ищется лексикографически-оптимальное решение. ЛПР предъявляется полученное решение X¹ со значениями всех критериев. ЛПР анализирует это решение и если оно его не устраивает, диалог продолжается. ЛПР просят указать, на какую величину он согласен снизить значение первого критерия с тем, чтобы улучшить значение второго. В результате формируется новая задача:

f₂(X) max,

f₁(X) , (10.22)

X D,

г де - уступка по первому критерию. Снова ищется лексикографическое решение, начиная с задачи (10.22.).

ЛПР оценивает предъявленное ему новое решение X² и прежде всего улучшение второго критерия, которое определяется как разность в двух решениях: f₂(Х²)-f₂(X¹). За такое увеличение f₂ он платит цену, равную . Если значение f₂(Х²) не удовлетворяет ЛПР, он может увеличить уступку и снова решить задачу (10.22.). Возможность улучшения значения одного критерия за счет другого показана на рис 10.14. Решение по первому критерию соответствует точке B. Введение уступки позволяет получить решение с лучшим значением f₂ (точка A). Если решение X² не обеспечивает приемлемого значения f₃, ЛПР должен назначить уступку по второму критерию - . Тогда решается задача

f₃(Х)=> max,

f₁(X) ,

f₂(X) , (10.23)

X D.

Аналогично формируются задачи по остальным критериям, если их значения не устраивают ЛПР. Очевидно, что в процессе поиска наилучшего решения ЛПР может возвращаться на любое число шагов назад, изменять свои уступки и получать новые решения. Тем самым он выявляет количественные взаимосвязи (замещения) критериев, что облегчает выбор окончательного решения.

Пример 10.6. Решим задачу из примера 10.1. Пусть ЛПР представил ранжирование критериев в виде: f₁, f₃, f₂. Максимум f₁ достигается в точке А (рис.10.9), где =12, f₃=-30, f₂=18. ЛПР не удовлетворен значением критерия f₃ и готов пойти на снижение критерия f₁ на величину =7. В соответствии с рассмотренной процедурой в условия задачи вводится новое ограничение

f₁(X)

или в явном виде

- 3x₁+2x₂ 5.

В результате допустимое множество сузится до треугольника AMN (рис.10.15). Найдем решение, максимизирующее f₃ на этоммножестве. Оно лежит в вершине N, где f₁=5, f₃=-12,5 и f₂=7,5.Таким образом, за счет снижения первого критерия на 7 единиц увеличилось значение третьего критерия (второго по важности) на 17,5. Однако ЛПР не устраивает значение критерия f₂. Чтобы повысить его, ЛПР согласен уменьшить f₃ до -18, то есть уступает =5,5. Тогда условия задачи дополняются еще одним ограничением

f₃(X) -18 или -2x₁+ 5х₂ 18,

и допустимое множество уменьшается до треугольника NPQ (рис.10.16).

Максимизируя f₂, получим решение в точке Q со значениями критериев: f₁=5, f₃=-18, f₂=16. Как видно, второй критерий увеличился на 8,5 за счет снижения третьего на 5,5. Анализируя полученное решение, ЛПР либо принимает его за окончательное, либо, изменив уступки, продолжает поиск.

Нетрудно убедиться в том, что решения формируемых задач, если они единственны, принадлежат паретовскому множеству исходной многокритериальной задачи.