8. Свойства коэффициентов регрессии.

9. Нелинейная регрессия. Методы линеаризации.

Во многих практических случаях моделирование экономических зависимостей линейными уравнениями дает вполне удовлетворительный результат и может использоваться для анализа и прогнозирования. Однако в силу многообразия и сложности экономических процессов ограничиться рассмотрением лишь линейных регрессионных моделей невозможно.

Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути, и поэтому их моделирование линейными уравнениями регрессии, безусловно, не даст положительного результата.

При рассмотрении производственных функций линейная модель является нереалистичной. В этом случае обычно используются степенные модели. Например, широкую известность имеет производственная функция Кобба—Дугласа

У — объем выпуска;

К — затраты капитала;

L — затраты труда;

А, α, β – параметры модели.

Если между экономическими явлениями существует нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций

Классы нелинейных моделей:

• 1. Нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам

• 2. Нелинейные по оцениваемым параметрам:

- Могут быть линеаризованы, т.е. приведены к линейному виду и оценены МНК, Внутренне линейные

- Не приводятся к линейному виду и не могут быть оценены МНК, Внутренне нелинейные

В всех приведенных примерах функции нельзя линеаризовать и следовательно идентифицировать параметры МНК.

В таких случаях используют итерационные процедуры оценки нелинейных регрессий или специальные методы.

Использование параболы

1) у – заработная плата работника,

х- возраст работника

(Теория человеческого капитала).

2) у – урожайность,

х – количество удобрений,

3) у – средние издержки,

х – объем выпуска продукции.

Модель вида:

называется обратной моделью. Она сводится к линейной заменой X на 1/X.

Обычно применяется в тех случаях, когда неограниченное увеличение переменной Х асимптотически приближает зависимую переменную к некоторому пределу (в данном случае к α).

В зависимости от знаков α и β возможны различные ситуации.

1) α и β – положительные параметры; Может отражать зависимость между объемом выпуска и средними фиксированными издержками.

2) α < 0, β > 0. Кривая Филипса, отражающая зависимость между уровнем безработицы (Х) в процентах и процентным изменением заработной платы (Y). При этом точка пересечения с осью ОХ определяет естественный уровень безработицы

3) Кривые Энгеля,

α > 0, β < 0.

х – доход,

у – доля расходов на непродовольственные товары,

Энгель сформулировал следующий закон:

«С ростом дохода доля расходов на продовольствие уменьшается, а доля на непродовольственные товары возрастает, но не беспредельно, так как сумма долей равна 100%».

Степенная функция.

М етод линеризации: Для определения параметров степенной функции с помощью МНК необходимо привести ее к линейному виду путем ло­гарифмирования обеих частей уравнения:

Э то уравнение представляет собой прямую линию на графике, по осям которого откладываются не сами числа, а их лога­рифмы (так называемая логарифмическая шкала или логарифмическая сетка). Пусть

Тогда уравнение примет вид

Y=A + a1X.

Параметры модели определяются по сле­дующим формулам:

Показательная функция:

Л инеаризацию переменных проведем пу­тем логарифмирования обеих частей уравнения:

Уравнение изображается прямой линией на полулогарифмической сетке, которая получается как сочетание натуральной шкалы для значений независимой пере­менной х и логарифмической шкалы — для значений зависимой переменной у.

П усть

Тогда уравнение примет вид

Y= A + Вxi

Параметры модели определяются по следующим формулам: