6.4. Ранговая корреляция

Если n вариантов ряда расположены в соответствии с возрастанием или убыванием признака х, то говорят, что объекты ранжированы по этому признаку. Ранг для х_i указывает место, которое занимает i-е значение признака среди других n значений признака х (i=1,2,..n).

Например, при исследовании рынка можно задаться целью выяснения предпочтений потребителей при выборе товара (при покупке акций, мороженного, водки и т.п.), таким образом, чтобы они распределили товар в порядке возрастания (или убывания) своих потребительских предпочтений. Если имеется два набора ранжированных данных, то можно установить степень линейной зависимости между ними. Предположим имеется 5 продуктов, которые ранжированы по порядку предпочтений от 1 до 5 в соответствии с двумя характеристиками А и В.

Характеристики для ранжирования	Продукты V W X Y Z
A B	2 5 1 3 4 1 3 2 4 5

Для определения наличия взаимосвязи между ранговыми оценками используется коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Его расчет основан на различиях между рангами.

Обозначим D= ранг A – ранг B

Коэффициент Спирмена равен: ,

где n – число пар ранжированных наблюдений.

В нашем примере мы имеем пять пар рангов, следовательно, n = 5. Cумма D² равна:

(2-1)² + (5-3)² + (1-2)² + (3-4)² + (4-5)²=1+4+1+1+1=8

Коэффициент Спирмена равен:

То есть мы нашли достаточно сильную линейную связь. Коэффициент Спирмена изменяется в интервале от [-1; 1] и интерпретируется так же как и коэффициент Пирсона. Разница лишь в том. что он вычисляется для ранжированных данных.

Значимость коэффициента Спирмена проверяется на основе t критерия Стьюдента по формуле: . (12).

Значение коэффициента считается существенным, если t_расч. > t_крит. (; k = n-2).

6.5. Корреляция альтернативных признаков

Альтернативные признаки – это признаки, принимающие только два возможных значения. Исследования их корреляции основано на показателях, построенных на четырехклеточных таблицах, в которые сводятся значения признаков.

a	b
c	d

Например, требуется измерить связь между прививками от гриппа и снижением заболеваемости гриппом в группе случайно выбранных студентов.

	Заболели	Не заболели	Итого
Привитые	30	20	50
Не привитые	15	5	20
Итого	45	25	70

Вопрос: существует ли связь между заболеваемостью и прививками?

Решение

Для измерения тесноты взаимосвязи признаков производится расчет коэффициента контингенции по формуле:

(13)

Коэффициент контингенции принимает значения на интервале [-1; 1]. Интерпретация аналогична коэффициенту корреляции. Мы получили слабую отрицательную связь, то есть

Другой метод измерения связи основан на расчете коэффициента ассоциации:

(14)

Минус перед коэффициентом говорит об обратном направлении связи, чем больше прививок, тем меньше заболеваний.

Коэффициент контингенции всегда бывает меньше коэффициента ассоциации и дает более корректную оценку тесноты связи.

Задача В результате обследования работников предприятия получены следующие данные (чел.)

Образование	Удовлетворены работой	Не удовлетворены работой	Итого
Высшее и среднее	300	50	350
Незаконченное среднее	200	250	450
Итого	500	300	800

Требуется оценить тесноту взаимосвязи между уровнем образования и удовлетворенностью своей работой с помощью коэффициентов контингенции и ассоциации.