8.3. Показатели изменения уровней ряда динамики

Большинство статистических характеристик ряда динамики основано на абсолютном или относительном сравнении его уровней. Сравниваемый уровень принято называть текущим, а уровень, с которым производится сравнение, - базисным.

Показатели роста и прироста предназначены для характеристики изменения уровней ряда (y_t ). Показатели роста представляют собой отношение двух уровней ряда, а прироста - их разность. Если эти показатели имеют вид относительных величин, их называют коэффициентами. Если они выражены в процентах - темпами.

Они могут быть цепными и базисными. У цепных ведется сравнение текущего уровня с предыдущим, а у базисных - с начальным, принятым за базу.

В качестве базисного выбирается либо начальный уровень ряда, либо уровень, с которого начинается какой-то новый этап развития явления.

Пример 1. Рассчитать показатели роста и прироста для анализа динамики числа кредитных организаций

Таблица . Кредитные организации (на начало года)

	Число	Абсолютный прирост		Темпы роста		Темпы прироста, %			Пункты
Год	кредитных организаций	yц. = = yi – yi-1	yб = =yi – y1	Tр.ц = =(yi/yi-1)100	Tр.б. = =( yi/y1)100	Тпр.ц = =Тр.ц. – 100%	Тпр.б. = =Тр.б. – 100%	А%	роста, %
2001	2126
2002	2003	-123	-123	94,21	94,21	-5,79	-5,79	21,26	5,79
2003	1828	-175	-298	91,26	85,98	-8,77	-14,02	20,03	8,23
2004	1668	-160	-458	91,25	78,46	-8,75	-21,54	18,28	7,53
2005	1518	-150	-608	91,05	71,40	-8,99	-28,60	16,68	7,06
2005	1409	-109	-717	92,82	66,27	-7,18	-33,73	15,18	5,13
		Σ= -717		П = 0,6627					33,73

2001 – базисный год.

Абсолютное изменение уровней ряда измеряется показателем абсолютного прироста.

Цепные показатели прироста исчисляются так:

_2ц = y₂ - y₁ _3ц = y₃ - y₂  _4ц = y₄ - y₃ . . .  _iц = y_i - y_i-1

Базисные показатели прироста :

_2б = y₂ - y₁ _3б = y₃ - y₁ _4б = y₄ - y₁ . . . _iб = y_i - y₁

Абсолютный прирост характеризует увеличение или уменьшение уровней ряда за определенный промежуток времени. Абсолютные приросты с переменной базой (цепные) называют скоростью роста или первыми разностями.

Цепные и базисные абсолютные приросты по данным примера 1 показывают сокращение (прирост) кредитных организаций и абсолютные изменения по сравнению с 2001 годом.

Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных абсолютных приростов равна базисному, то есть общему приросту за весь промежуток времени.

Для характеристики интенсивности, то есть относительного изменения уровней ряда динамики исчисляют коэффициенты или темпы роста (снижения). Цепные коэффициенты роста исчисляются следующим образом:

К_2/1ц = К_3/2ц = К_4/3ц = . . . К_i/i-1ц =

Цепные темпы роста будут иметь следующий вид:

Т_2/1ц=(K_2/1ц)100%, T_3/2ц= (K_3/2ц)100%, ….

Базисные же коэффициенты будут такими:

К_2/1б = К_3/1б = К_4/1б = . . . К_i/1б =

Базисные темпы роста:

T_2/1б=(K_2/1б)100%, T_3/2б=(K_3/2б)100% …

Они показывают во сколько раз сравниваемый уровень больше уровня, с которым производится сравнение (если коэффициент больше 1) или какую часть уровня, с которым производится сравнение, составляет сравниваемый уровень (если он меньше единицы). (см. Пример 1)

Между цепными и базисными коэффициентами роста существует взаимосвязь (если базисные коэффициенты исчислены по отношению к начальному уровню ряда динамики): произведение последовательных цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста за весь период, а частное от деления последующего базисного коэффициента роста на предыдущий уровень равно соответствующему цепному коэффициенту роста.

Относительную оценку скорости изменения уровня ряда в единицу времени дают показатели коэффициентов (темпов) прироста. Темп прироста показывает на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше уровня, принятого за базу сравнения. Он представляет собой отношение абсолютного прироста к предыдущему или начальному (базисному) уровню. Цепной темп прироста:

Т _пр.ц.=(y_ц/y_i-1)100%

T _пр.б.=( y_б/y₁)100%

Темп прироста можно получить и из темпа роста, если из него вычесть 100%. Коэффициент прироста получается вычитанием 1 из коэффициента роста.

При анализе динамики развития следует так же знать какие абсолютные значения скрываются за темпами роста и прироста. Сравнение абсолютного прироста и темпа прироста за одни и те же периоды времени зачастую показывает, что при снижении темпов прироста абсолютный прирост не всегда уменьшается, в отдельных случаях он может возрастать. Поэтому, чтобы правильно оценить значение полученного темпа прироста, его рассматривают в сопоставлении с показателем абсолютного прироста. Результат выражают показателем, который называют абсолютным значением (содержанием) одного процента прироста и рассчитывают как отношение абсолютного прироста к темпу прироста за тот же период времени, %:

Абсолютное значение одного процента прироста показывает какое абсолютное значение скрывается за относительным показателем – одним процентом прироста (см. пример 1).

В тех случаях, когда сравнение производится с отдалением периода времени, принятого за базу сравнения, рассчитывают, так называемые, пункты роста, которые представляют собой разность базисных темпов роста, %, двух смежных периодов.

В отличие от темпов прироста, которые нельзя ни суммировать, ни перемножать, пункты роста можно суммировать, в результате получаем базисные темпы прироста. (см. пример 1).

Средний темп ( коэффициент) роста или прироста позволяет оценить среднюю скорость изменения уровней временного ряда. Средний коэффициент роста исчисляется с помощью средней геометрической простой или взвешенной. Взвешенная используется тогда, когда значения некоторых коэффициентов роста повторяются.

Средняя геометрическая простая имеет следующую формулу :

,

где К₁,К₂,К₃...К_n- цепные коэффициенты роста за n периодов.

Поскольку произведение цепных коэффициентов дает базисный коэффициент роста, а базисный коэффициент можно получить делением конечного уровня на начальный, постольку приведенную выше формулу можно записать еще и так:

.

Если бы начальный уровень был обозначен через y₀ , то корень надо было бы брать n-ой степени, а не степени n-1.

Средний коэффициент роста для примера 1 составит

0,9025

Следовательно, средний темп роста здесь составил 90,25%, а средний темп прироста равен –9,75%.

Средний темп роста ни в коем случае нельзя исчислять по формуле средней арифметической. Согласно правилу мажорантности средних при использовании средней арифметической всегда получается завышенный результат по сравнению со средней геометрической. При коротких рядах это завышение может быть не очень заметным, но при длинных рядах оно может оказаться очень существенным.

Средняя геометрическая взвешенная имеет такой вид:

.

Если два первых года ежегодный прирост был бы равен 20%, а последующие три года - 40%, то надо было бы воспользоваться последней формулой, которая в данном случае дала бы следующее значение среднегодового коэффициента роста

Последний расчет вполне допустимо записать еще и так:

.

В соответствии с этим средняя геометрическая может получить такой вид:

,

где К_i - цепной коэффициент роста в i-том периоде,

w_i - вес i-того периода, исчисляемый как:

.

Причем обязательно m_i =1.

В статистике для сравнения базисных темпов роста изучаемых рядов динамики за анализируемый период принято исчислять коэффициент опережения ,

Где - базисный темп первого ряда;

- базисный темп второго ряда.