Контрольные вопросы

1. В чем состоит явление дифракции волн? При каких условиях оно легко наблюдается?

2. В чем состоит метод зон Френеля, применяемый при качественном анализе дифракции света на простейших объектах? Поясните принцип разбиения фронта волны на зоны при анализе дифракции света на круглом отверстии.

3. Как изменяется число зон Френеля, открываемых отверстием, для точки, находящейся на оси светового пучка, с уменьшением расстояния от отверстия до этой точки?

4. При каком числе зон Френеля, укладывающихся в отверстии, интенсивность в центре дифракционной картины от отверстия будет максимальной (минимальной)?

5. Можно ли наблюдать дифракцию света на круглом отверстии диаметром 10 см?

Лабораторная работа № 8 Дифракционная решетка

Цели работы: наблюдение с помощью дифракционной решетки спектра излучения раскаленного тела; определение длин волн некоторых спектральных составляющих видимого света; определение угловой дисперсии дифракционной решетки, сопоставление экспериментальных результатов с теорией.

Приборы и принадлежности: дифракционные решетки, осветитель ОИ–19, гониометр, монохроматор МУМ, цветные карандаши.

Литература: [1], § 179 – 180; [2], § 55; [3], § 24 – 25; [4], § 14; [5], § 142.

В в е д е н и е

Амплитудная дифракционная решетка представляет собой плоскую прозрачную (или зеркальную) пластинку, на которой с помощью делительной машины нанесен ряд параллельных, равноотстоящих непрозрачных штрихов (рис. 1, а). Сумму ширины прозрачного промежутка и непрозрачного штриха называют постоянной решетки.

Кроме амплитудных решеток существуют фазовые дифракционные решетки. Периодические изменения фазы проходящей электромагнитной волны достигаются в них изменением толщины слоя или коэффициента преломления (рис. 1, б).

Рис. 1

В данной лабораторной работе используются амплитудные дифракционные решетки.

Пусть на решетку падает параллельный пучок света. На каждой из щелей произойдет дифракция световой волны. В результате этого выходящие из щелей световые пучки оказываются расходящимися и накладываются друг на друга (рис. 2).

Рис. 2

Для анализа возникающих при этом оптических эффектов необходимо учесть интерференцию световых пучков, количество которых соответствует числу щелей N. Эта задача значительно упрощается, если предположить, что за решеткой установлена собирающая цилиндрическая линза, и интерференционная картина (дифракционный спектр) наблюдается в ее фокальной плоскости. Такой метод наблюдения дифракции света на решетке был предложен немецким физиком Й. Фраунгофером в 1822 г.

Так как на решетку падает параллельный пучок лучей, то волны, выходящие из разных щелей, имеют одинаковые начальные фазы. Выделим совокупность лучей, выходящих из щелей под одним и тем же углом дифракции φ (см. рис. 3). Эти лучи будут сфокусированы линзой в ее фокальной плоскости. Результат их интерференции будет определяться разностью хода лучей до линзы, поскольку линза не меняет фазовых соотношений в параллельных лучах, падающих на нее.

Рис. 3

Легко видеть, что величина Δ = dsinφ соответствует разности хода лучей, вышедших под углом φ из соседних щелей. Если на разности хода Δ укладывается целое число длин волн, то для произвольной пары щелей соответствующая разность хода волн будет кратна λ. В этих направлениях световые волны в результате интерференции усиливают друг друга. При этом амплитуда колебаний увеличивается в N раз (N - число щелей), а интенсивность света – в N² раз по сравнению с характеристиками излучения, испускаемого в данном направлении одной щелью. Таким образом, положение так называемых главных максимумов определяется условием

(1)

где k = 0, ±1, ±2, ±3,….

П усть, далее, разность хода волн, вышедших под углом φ из первой и последней щелей решетки кратна длине волны: Δ = Ndsinφ = nλ (n = 0, ±1, ±2, ±3…). Разобъем решетку на 2n частей и пронумеруем щели в каждой части отдельно, начиная нумерацию с единицы. Пусть, например, n = 2, и решетка разбивается на 4 части (рис. 4). Тогда для волн, вышедших из щелей, имеющих в первой и второй частях решетки одинаковый номер, разность хода составляет λ/2 – волны в результате интерференции гасят друг друга. Аналогичное имеет место для волн, вышедших под углом φ из соответствующих щелей в третьей и четвертой частях решетки.

Рис. 4

Таким образом, в угловых направлениях φ, определяемых условием

n = ±1, ±2 ... (2)

формируются так называемые дополнительные минимумы. Заметим, что при использовании выражения (2) из возможных значений n следует исключить те значения, при которых отношение n/N является целым числом, поскольку в соответствующих угловых направлениях наблюдаются главные максимумы.

Легко показать, что между двумя главными максимумами располагаются N–1 дополнительных минимумов. Действительно, пусть общее число щелей решетки равно 10. Согласно (1), главные интерференционные максимумы первого и второго порядков наблюдаются в угловых направлениях φ₁ и φ₂, удовлетворяющих условиям: sin φ₁=λ/d, sin φ₂=2λ/d. Между этими максимумами, согласно (3), располагаются дополнительные минимумы, которым соответствуют значения n, равные 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Их общее число равно 9. С ростом общего числа щелей увеличивается количество дополнительных минимумов, разделяющих главные максимумы. В результате этого происходит сужение главных максимумов.

Таким образом, если на дифракционную решетку, имеющую большое число штрихов, падает монохроматический свет, то дифракционный спектр состоит из узких линий, соответствующих максимумам нулевого, первого, второго и т.д. порядка. Угловые направления на эти максимумы задаются соотношением (1). Главные максимумы отделены друг от друга относительно темными промежутками.

Р езультаты проведенного анализа можно проиллюстрировать простым опытом, в котором несколько нарушается схема наблюдения дифракции по методу Фраунгофера, но хорошо выявляется суть возникающих эффектов. Если на дифракционную решетку с малым периодом направить узкий пучок лазерного излучения, то за решеткой этот пучок разбивается на совокупность пучков (рис. 5).

Рис. 5

При этом угловое направление φ для пучка с номером k дается уравнением (1).

Заметим далее, что при k ≠ 0 угол дифракции φ зависит от длины волны λ. Это позволяет использовать дифракционную решетку как спектральный прибор. Так, при освещении решетки белым светом дифракционная картина, наблюдаемая в фокальной плоскости линзы, имеет следующий вид. Центральная полоса (k = 0) будет белой, поскольку в ней суммируются действия всех лучей независимо от длины волны. Справа и слева от центрального максимума наблюдаются спектры, которые могут частично накладываться друг на друга. Спектры высших порядков у простых решеток менее интенсивны и они в большей степени перекрываются, поэтому, как правило, при измерениях используются спектры не выше 3–го порядка.

Если с помощью дифракционной решетки исследуется линейчатый спектр излучения, то принципиально важными являются два момента. Во-первых, насколько далеко друг от друга отстоят соседние спектральные линии. Во-вторых, при какой наименьшей разности длин волн двух спектральных линий они (линии) будут видны еще раздельно. В соответствии с этим дифракционная решетка как спектральный прибор характеризуется двумя величинами – угловой дисперсией и разрешающей способностью.

Угловая дисперсия D определяется угловым расстоянием dφ между двумя спектральными линиями, отнесенным к разности dλ их длин волн:

.

Формулу для угловой дисперсии решетки получают дифференцированием уравнения (1) по λ:

. (3)

Из (3) видно, что угловая дисперсия пропорциональна порядку спектра и обратно пропорциональна постоянной решетки.

Разрешающую способность дифракционной решетки оценивают величиной R = λ/Δλ_min, где Δλ_min – минимальная разность длин волн двух спектральных линий, которые в спектре видны еще раздельно.

Теоретический расчет показывает, что для дифракционной решетки разрешающая способность

R = Nk, (4)

где N – полное число щелей решетки, k – порядок спектра. Таким образом, разрешающая способность решетки возрастает с ростом порядка спектра и увеличением общего числа щелей. Этот результат легко понять, поскольку с ростом k, согласно выражению (3), увеличивается угловое расстояние между спектральными линиями, а с ростом N, как было показано выше, уменьшается ширина спектральных линий (главных максимумов в дифракционной картине).