- •Вместо введения: о погрешностях при решении прикладных задач
- •Глава I. Численные методы решения уравнений
- •§ 1. Задача локализации корней
- •Ограничение корней
- •Локализация корней
- •Простейший (грубейший) алгоритм локализации корней:
- •§ 2. Понятие об итерационных методах уточнения корней
- •Метод деления пополам (метод вилки)
- •§ 3. Методы хорд и касательных
- •Метод хорд для монотонных выпукло-вогнутых функций
- •Метод касательных для монотонных выпукло-вогнутых функций
- •§ 4. Метрические и банаховы пространства. Теорема о неподвижной точке
- •Матричные нормы
- •§ 5. Метод простой итерации
- •§ 6. Применение метода простой итерации к решению
- •Условие h([; ]) [; ] :
- •Глава II. Вычисления в линейной алгебре
- •§ 1. Метод Гаусса и его улучшения для повышения точности решения
- •§ 2. Метод простой итерации и метод Зейделя
- •§ 3. Подготовка к применению метода простой итерации
- •§ 4. Проблема собственных значений
- •Глава III. Численное интегрирование
- •§ 1. Метод прямоугольников
- •§ 2. Метод трапеций
- •§ 3. Метод Симпсона (параболическое интерполирование)
- •Глава IV. Некоторые методы аппроксимации функций
- •§ 1. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •§ 2. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •§ 3. Метод наименьших квадратов
- •Глава V. Некоторые методы численного решения дифференциальных уравнений
- •Приложение: Сводка характеристик численных методов
- •Характеристики метода:
- •Характеристики метода:
- •Характеристики метода:
- •Характеристики метода:
- •Характеристики метода:
§ 4. Проблема собственных значений
TO BE ADDED…
Глава III. Численное интегрирование
З адача численного интегрирования состоит в приближённом вычислении с заданной точностью определённого интеграла для непрерывной на отрезке [a; b] функции. Здесь интеграл понимается как предел интегральных сумм , где участвует любое разбиение a = x0 < x1 < … < < xn–1 < xn = b отрезка [a; b] на n отрезков [xi ; xi+1] длин i = xi+1 – xi , в каждом из которых фиксирована точка i [xi ; xi+1] (0 i n–1). Этот предел рассматривается при стремлении к нулю величины = i (что, конечно, предполагает n ) и не должен зависеть ни от разбиения a = x0 < x1 <…< xn–1 < xn = b, ни от выбора точек i [xi ; xi+1] (1 i n–1) – только в этом случае интеграл и считается корректно определённым.
В этой главе рассматриваются некоторые методы решения поставленной задачи численного интегрирования.
§ 1. Метод прямоугольников
Э тот метод предполагает равномерное разбиение отрезка [a; b] на n равных частей длины i = с выбором точек i в серединах интервалов [xi ; xi+1]: i = (0 i n–1).
Если обозначить f(i) = fi+1/2 , то заменив интеграл n-й интегральной суммой, получим формулу прямоугольников:
.
Её название связано с прямоугольниками, т.к. она заменяет значение интеграла суммой площадей n прямоугольников с одним основанием и высотами f1/2 , … , fn–1/2 (см. рисунок).
Для того чтобы осмысленно применять эту формулу, нужно оценить погрешность, с которой она даёт значение интеграла. Предположим, что функция f дважды непрерывно дифференцируема на [a; b]. Тогда на каждом интервале [xi ; xi+1] можно воспользоваться формулой Тейлора:
f(x) = f(i) + f(i)·(x – i) + ·(x – i)2 ,
где лежит между x и i и зависит от x. Интегрируя по x в отрезке [xi ; xi+1], получим
,
причём среднее слагаемое в правой части равно нулю:
,
где = xi+1 – xi . Значит, , причём
,
где Mi = max{|f(x)| | xi x xi+1 }.
Таким образом,
где M = |f(x)| .
Полученная оценка позволяет по заданной погрешности из неравенства находить число n : n > и = , а затем применять формулу прямоугольников .
Пример. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл .
Оцениваем вторую производную подынтегральной функции:
,
т.к. 3·x2 – 1 3·12 – 1 = 2, .
Вычисляем n > , т.е. n = 13. Теперь пользуемся методом прямоугольников:
Сравнивая полученное значение интеграла с точным значением 0,785398, получим
| – I | |0,785398 – 0,785521| 0,000123 < 0,001,
что и требовалось.
§ 2. Метод трапеций
Разобьём отрезок [a; b] на n равных частей длины = и впишем в подграфик функции f прямоугольные трапеции, как показано на рисунке. Если обозначить f(xi) = fi , то заменив интеграл, численно равный площади подграфика, суммой площадей трапеций, получим формулу трапеций:
.
И з рисунка видно, что на отрезках, где функция меняет знак, вместо трапеции получаются два треугольника.
Для того чтобы осознанно пользоваться этой формулой, нужно оценить погрешность, с которой она даёт значение интеграла. Предположим, что функция f дважды непрерывно дифференцируема на [a; b]. Тогда на каждом интервале [xi ; xi+1] она заменяется линейной функцией . Оценим разность
r(x) = f(x) – L(x) – K·(x – xi)·(x – xi+1),
где x (xi ; xi+1), а K – постоянная со свойством r(y) = 0 для некоторой фиксированной точки y (xi ; xi+1), т.е. K = . Таким образом, дважды непрерывно дифференцируемая функция r(x) обращается в ноль, по крайней мере, в трёх точках: xi , y, xi+1 .
По теореме Роля, производная r(x) имеет, по крайней мере, по одному корню на каждом их отрезков (xi ; y) и (y ; xi+1). Ещё раз применяя теорему Ролля, получим, что у второй производной r(x) есть корень на (xi ; xi+1). С другой стороны, r(x) = f(x) – 0 – 2·K. Таким образом, K = , где (xi ; xi+1) – корень r(x). Итак,
f(y) = L(y) + ·(y – xi)·(y – xi+1),
т.к. r(y) = 0, а зависит от y.
Интегрируя по y в отрезке [xi ; xi+1], получим
,
причём первое слагаемое в правой части равно:
где = xi+1 – xi . Значит, ,
где Mi = |f(x)| .
Таким образом, , и в общем виде
где M = |f(x)|.
Полученная оценка позволяет по заданной погрешности из неравенства находить число n : n > , вычислять = , и осознанно применять формулу трапеций .
Пример. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл .
Оцениваем для подынтегральной функции f(x) = вторую производную:
f(x) = , f(x) = ,
т.к. 3·x2 – 1 3·12 – 1 = 2, .
Вычисляем n > , т.е. n = 19. Теперь пользуемся методом прямоугольников:
Сравнивая полученное значение интеграла с точным значением 0,785398, получим
| – I | |0,785398 – 0,785283| 0,000115 < 0,001,
что и требовалось.