- •Вместо введения: о погрешностях при решении прикладных задач
- •Глава I. Численные методы решения уравнений
- •§ 1. Задача локализации корней
- •Ограничение корней
- •Локализация корней
- •Простейший (грубейший) алгоритм локализации корней:
- •§ 2. Понятие об итерационных методах уточнения корней
- •Метод деления пополам (метод вилки)
- •§ 3. Методы хорд и касательных
- •Метод хорд для монотонных выпукло-вогнутых функций
- •Метод касательных для монотонных выпукло-вогнутых функций
- •§ 4. Метрические и банаховы пространства. Теорема о неподвижной точке
- •Матричные нормы
- •§ 5. Метод простой итерации
- •§ 6. Применение метода простой итерации к решению
- •Условие h([; ]) [; ] :
- •Глава II. Вычисления в линейной алгебре
- •§ 1. Метод Гаусса и его улучшения для повышения точности решения
- •§ 2. Метод простой итерации и метод Зейделя
- •§ 3. Подготовка к применению метода простой итерации
- •§ 4. Проблема собственных значений
- •Глава III. Численное интегрирование
- •§ 1. Метод прямоугольников
- •§ 2. Метод трапеций
- •§ 3. Метод Симпсона (параболическое интерполирование)
- •Глава IV. Некоторые методы аппроксимации функций
- •§ 1. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •§ 2. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •§ 3. Метод наименьших квадратов
- •Глава V. Некоторые методы численного решения дифференциальных уравнений
- •Приложение: Сводка характеристик численных методов
- •Характеристики метода:
- •Характеристики метода:
- •Характеристики метода:
- •Характеристики метода:
- •Характеристики метода:
Глава V. Некоторые методы численного решения дифференциальных уравнений
§ 1.
TO BE CONTINUED
Л И Т Е Р А Т У Р А
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.
Вержбицкий В.М. Основы численных методов. – М.: Высш. шк., 2002.
Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). – М.: Высш. шк., 2001.
Воробьёва Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по численным методам. – М.: Высшая школа, 1979.
Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. – М.: Мир, 1967.
Зайцева О.С. Методическое пособие по численным методам для студентов физико-математического факультета. – Тобольск: Издательство ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 1997.
Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные методы. – М.: Издательский центр “Академия”, 2005.
Оленькова М.Н. Лабораторные работы по численным методам для студентов физико-математического факультета. – Тобольск: Издательство ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 1999.
Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”, 2002.
Приложение: Сводка характеристик численных методов
ТАБЛИЦА I: МЕТОД ДЕЛЕНИЯ ПОПОЛАМ (ВИЛКИ)
для уравнения f(x) = 0 на [; ]
Этап |
Общий случай |
1. выбор x0 |
x0 = = 0 , 0 = , 0 = | – | |
2. итерации |
xn+1 = (n N), [n+1 ; n+1] = , n+1 = |
3. stop |
n или f(xn) |
Характеристики метода:
скорость сходимости: |xn – r| |xn – xn–1| = – геометрической прогрессии
порядок сходимости: нет, ведёт непредсказуемо при “переходе” через корень
ТАБЛИЦА II: МЕТОД ХОРД
для уравнения f(x) = 0 на [; ]
Этап |
Для монотонных выпукло-вогнутых функций |
1. выбор x0 |
= , x0 = , 0 = – |
2. итерации |
|
3. stop |
n или f(xn) |
Характеристики метода:
скорость сходимости: |xn – r| – геометрической прогрессии
порядок сходимости: линейный (первый) |xn+1 – xn| c·|xn – xn–1 |1
ТАБЛИЦА III: МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ
для уравнения f(x) = 0 на [; ]
Этап |
Для монотонных выпукло-вогнутых функций |
1. выбор x0 |
= , x0 = , 0 = – |
2. итерации |
|
3. stop |
n или f(xn) |