- •Атомная физика
- •1. Интерференция света
- •2. Дифракция света
- •5. Фотоны
- •Давление света
- •6. Боровская теория атома
- •9. Волновые свойства микрочастиц
- •10. Частица в потенциальной яме
- •12. Зонная теория твердого тела
- •2 . Деление твердых тел на проводники, полупроводники и
- •13. Контакт полупроводников с разным типом
10. Частица в потенциальной яме
1. Физический смысл квадрата пси-функции
Сопоставим два уравнения: для электромагнитной волны и для волны де Бройля . Плотность энергии в электромагнитной волне по волновой теории пропорциональна квадрату напряженности электрического поля: , а по корпускулярной теории света плотность энергии пропорциональна плотности потока фотонов . Аналогично квадрат пси-функции будет пропорционален плотности потока частиц. Если рассматривается движение одной частицы, то квадрат пси-функции будет равен плотности вероятности нахождения частицы (то есть вероятности нахождения в единичном объеме) в рассматриваемой точке пространства: . Для определения вероятности нахождения частицы в заданном объеме следует проинтегрировать по объему V. Если пси функция не содержит мнимой части, то .
Из физического смысла квадрата пси-функции определяются ограничения на возможные решения уравнения Шредингера. Пси-функция должна быть однозначна, ограничена, не иметь разрывов, то есть пси-функция и её первая производная должны быть непрерывны. Должно выполняться условие нормировки: если частица находится в рассматриваемом объеме, то вероятность ее нахождения там равна единице: .
2. Частица в потенциальной яме
Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия меньше, чем в окружающем пространстве. Например, атом для электрона, ядро атома для протонов и нейтронов, объем металла для электронов. Классической потенциальной ямой является обычная яма на поверхности Земли, например для шарика. Но если движение шарика подчиняется законам классической механики Ньютона, то движение электрона в атоме, оказывается, подчиняется не законам Ньютона, а законам квантовой механики. Рассмотрим простейшую задачу квантовой механики о движении частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.
Пусть частица массы m находится в потенциальной яме шириной l, внутри которой потенциальная энергия равна нулю, а за пределами ямы бесконечно высока (рис. 1). Пусть частица движется вдоль координатной оси х перпендикулярно стенкам. Применим для решения задачи амплитудное уравнение Шредингера
. (4)
Чтобы за пределами ямы выполнялось равенство нулю уравнения при бесконечно большом значении потенциальной энергии, приходится положить значение пси-функции вне ямы равным нулю, ψ = 0. То есть появляться за пределами ямы частице запрещено.
Внутри ямы уравнение Шредингера принимает вид . Здесь введено обозначение . Будем искать решение этого дифференциального уравнения в виде суммы гармонических функций .
Определим постоянные интегрирования А и В. Из условия непрерывности пси-функции на границах ямы пси-функция должна быть равной нулю. Подставив в искомое решение х = 0, получим , откуда В = 0. Подставив x = l, получим . Это возможно, если , то есть число n = 1, 2, 3…принимает целые значения. Такие решения уравнения Шредингера называются собственными функциями
. (5)
На рис. 2 изображены графики нескольких собственных функций и их квадратов. Если в классической потенциальной яме шарик с равной вероятностью может оказаться в любом месте ямы, то квантовая частица чаще, с большей вероятностью, находится там, где квадрат пси функции имеет наибольшее значение. Лишь при огромном значении квантового числа n наиболее вероятные положения частицы сближаются, приближаясь к классическому распределению.
Подставим в условие квантования соотношение параметра с энергией , получим самый важный вывод квантовой механики: энергия частицы, запертой в потенциальной яме, может принимать не любые, а только дозволенные значения энергии:
(6)
Чем меньше размер потенциальной ямы, тем энергия выше. Например, электрон в атоме (l= 10-10 м) имеет по этой формуле энергию около 10 эВ, а если его локализовать в ядре атома (l =10-14 м), то его энергия должна быть в 108 раз больше. Столь огромной энергией, во много раз большей энергии покоя (109 эВ >> 0,51∙106 эВ), электрон обладать не может и значит внутри ядра он существовать не может.
3. Прохождение частиц через потенциальный барьер
11. АТОМ ВОДОРОДА В КВАНОТОВОЙ МЕХАНИКЕ
1. Уравнение Шредингера для атома водорода
2. Решение радиальной части уравнения, квантование энергии атома
3. Решение угловой части уравнения, квантование орбитального момента импульса и проекции момента импульса электрона
4. Спин электрона, Опыты Штерна– Герлаха.
5. Принцип Паули, распределение электронов в многоэлектронных атомах. Таблица Менделеева.