Теоретические вопросы
Комплексные числа. Основные понятия.
Различные формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая, показательная. Формулы Эйлера.
действия над комплексными числами.
изображения комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Полярная система координат.
Возведение в степень комплексного числа. Извлечение корня з комплексного числа. Формула Муавра.
Многочлен ой степени от одного неизвестного. Корни многочлена.
действия над многочленами.
теорема Безу. Разложение многочлена на множители. Основная теорема алгебры (без доказательства).
рациональная дробь. Простейшие рациональные дроби. Представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей.
Теоретические упражнения
Докажите, что
а)
;
г)
;
б)
;
д)
;
в)
;
е)
.
Докажите формулы Эйлера
;
Используя формулы Эйлера, выразите
и
через косинусы и синусы кратных дуг.
используя формулу Муавра, выразите через и следующие функции:
а)
,
;
б)
,
.
.
найдите суммы
а)
;
б)
.
Указание:
.
Рассмотрите формулу суммы геометрической
прогрессии
.
Разложите на множители следующие многочлены
а)
,
если известен один корень
;
б)
,
если известен двукратный корень
;
Остаток от деления некоторого многочлена на многочлен
равен
.
Докажите, что остаток от деления этого
же многочлена на
равен
.
Контрольная работа Задание I
Изобразить комплексное число
на плоскости, записать в тригонометрической
и показательной формах (I
балл)
1.1.
;
1.2.
;
1.3.
;
1.4.
;
1.5.
;
1.6.
;
1.7.
;
1.8.
;
1.9.
;
1.10.
;
1.11.
;
1.12.
;
1.13.
;
1.14.
;
1.15.
;
1.16.
;
1.17.
;
1.18.
;
1.19.
;
1.20.
;
1.21.
;
1.22.
;
1.23.
;
1.24.
;
1.25.
;
1.26.
;
1.27.
;
1.28.
;
1.29.
;
1.30.
.
Задание II
Найти значения выражений (2 балла).
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.22.
2.23.
2.24.
2.25.
2.26.
2.27.
2.28.
2.29.
2.30.
Задание III
Решить уравнение (4 балла).
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
