Раздел 1. Математические структуры

Лекция № 1. Множества и операции над ними

1. Понятие множества.

2. Конечные и бесконечные множества.

3. Операции над множествами

1. Понятие множества

Понятие множества – одно из основных понятий современной математики. Поэтому строго определить, что такое множество невозможно. Можно только пояснить, что подразумевается под этим понятием.

Оно возникло как обобщение представлений о том, что объекты материального мира правомерно рассматривать не изолированно (по-одному), а в составе каких-либо совокупностей. «Множество есть многое, мыслимое как единое», – это фраза принадлежит основателю теории множеств – немецкому математику Г.Кантору (1845–1918).

Г.Кантор

Так, можно говорить о множестве студентов первого курса педагогического университета, понимая под ним всех первокурсников. Правомерно говорить о множестве цифр, с помощью которых записываются десятичные числа – это множество 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Любое множество состоит из отдельных объектов, которые называются его элементами. Множества обычно обозначаются прописными буквами A, B, … , а элементы – строчными a, b, x…

Полагается, что при фиксированном множестве A для каждого объекта x имеется одна из двух возможностей:

1) либо объект x является элементом множества A, и этот факт обозначается так: x A (знак  читается «принадлежит»);

2) либо объект x не является элементом множества A, и этот факт обозначается так: x A (знак  читается «не принадлежит»).

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .

В математике задать множество означает указать каким-либо способом, из каких элементов оно состоит. Способы эти различны.

Задать множество можно путем перечисления его элементов. Например, запись A={1, 2, 3} означает, что множество А состоит из чисел 1, 2, 3. Специальные обозначения существуют для множества натуральных чисел (N) и множества целых чисел (Z):

N={1, 2, 3,…, n, …}; Z={…, –n, …, – 3, –2, –1, 0, 1 2, 3,…, n, …}.

Иной и очень распространенный способ задания множества заключается в указании общего свойства, которым обладают все элементы данного множества. Записываются эти указания по-разному.

Например, можно сказать, что множество А – это множество натуральных корней квадратного уравнения x²–3x+2=0. То же самое можно записать и так: A={x: x²–3x+2=0, x N}. Поскольку корнями этого уравнения являются числа x₁=1 и x₂=2, то речь в сущности идет о множестве А={1, 2}.

Еще одним примером задания множества путем указания его свойств может служить запись: N₃={3k: k N}. В соответствие с ней N₃ – множество натуральных чисел, кратных 3.

Определение 1.1. Два множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является элементом множества В, и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А.

В математики обороты типа «каждый элемент множества А», «любой элемент множества А» и т.п. встречаются достаточно часто. Для упрощения записей (и не только!) используются так называемые кванторы – символы и .

Первый из этих символов ( ) называется квантором общности, а запись xA читается так: «для любого (всякого, каждого) x, принадлежащего А».

Второй ( ) называется квантором существования, а запись xA читается так: «существует по крайней мере один элемент x из множества А такой, что…».

Далее эти кванторы будут использоваться очень часто, но оценить преимущества можно уже сейчас, глядя на иную форму записи определения 1.1.

Определение 1.1*. Два множества А и В называются равными (пишется А=В), если xA xВ, и xВ xА.

Заметим, что из определения 1.1 непосредственно следует, что два множества {1, 2, 3} и {3, 2, 1} равны. Иными словами, порядок записи элементов множества не является существенным.

Определение 1.2. Множество А называется подмножеством множества В (пишется АВ), если xA xВ.

Пример 1.1. Пусть А={1, 2, 3}. Тогда перечисленные ниже множества являются подмножествами множества А:

А₁=;

А₂={1};

А₃={2};

А₄={3};

А₅={1, 2};

А₆={1, 3};

А₇={2, 3};

А₈={1, 2, 3}.

Заметим, что никаких других подмножеств у множества А нет. Поэтому множество P(A)={А₁; А₂; А₃; А₄; А₅; А₆; А₇; А₈} есть множество всех подмножеств множества А.

Определение 1.3. Множество А называется собственным подмножеством множества В (пишется АВ), если АВ и А и AВ.

В соответствии с определением 1.3 множества А₂ – А₇ из примера 1.1 являются собственными подмножествами множества А={1, 2, 3}.