2. Конечные и бесконечные множества

В теории множеств рассматриваются конечные и бесконечные множества. Примером конечного множества может служить множество А={1, 2, 3} а примером бесконечного множества – N – множество натуральных чисел.

Важнейшей характеристикой любого конечного множества A является число его элементов, которое будем обозначать А. Справедлива следующая теорема, которая легко доказывается методом математической индукции.

Теорема 1.1. Если А=n, то P(А)=2ⁿ, где P(А) – множество всех подмножеств множества А.

Далее нам понадобится следующее определение.

Определение 1.4. Отображение F множества А на множество В (F:АВ) называется взаимнооднозначным (изоморфизмом), если xA всегда найдется и причем единственный элемент yВ, такой что F(x)=y, и если tB всегда найдется и причем единственный элемент zA такой, что F(z)=t.

Рассмотрим конечные множества А (А=n) и В (В=m). Если nm определить между ними взаимнооднозначное соответствие нельзя. Какое-то из них окажется больше, мощнее. Взаимно однозначное соответствие между конечными множествами установить можно лишь в том случае, когда n=m.

Идея о том, что бесконечные множества А и В можно считать в каком-то смысле одинаковыми по числу имеющихся в них элементов, если между этими множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, привела к очень интересным результатам. Но, прежде, приведем несколько определений и теорем.

Определение 1.5. Множества (конечные или бесконечные), между которыми может быть установлено взаимно однозначное соответствие, называются равномощными.

Определение 1.6. Множество, равномощное множеству натуральных чисел называется счетным.

Систематический анализ бесконечных множеств с точки зрения их мощности был начат Г.Кантором в 1873 году.

В его рамках было установлено следующее.

Теорема 1.2. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Заметим, что согласно этой теореме счетные множества фактически являются в какой-то степени «минимальными» по мощности среди бесконечных множеств.

Теорема 1.3 (Г.Кантор). Множество действительных чисел, заключенных между 0 и 1 несчетно.

Теорема 1.4. Множество всех подмножеств любого множества имеет мощность, большую, чем само множество.

Заметим, что для конечных множеств теорема 1.4 является следствием теоремы 1.1.

Определение 1.7. Мощность множества всех подмножеств счетного множества называется мощностью континуума.

Теорема 1.5. Множество действительных чисел имеет мощность континуума.

Приведенные определения и теоремы доставляют примеры различных бесконечных множеств.

При этом в отличие от конечных множеств, у которых каждое собственное подмножество содержит меньшее число элементов, чем само множество, для бесконечных множеств собственное подмножество может быть равномощно всему подмножеству.

Например, множество квадратов натуральных чисел, являющееся подмножеством множества N счетное, то есть равномощно множеству N.

Множество [0,1]R (R –множество действительных чисел) имеет мощность континуум – такую же мощность, что и множество действительных чисел.

Таким образом, постулат Евклида, гласящий, что «целое всегда больше любой своей части» к бесконечным множествам неприменим (разумеется, в контексте понятия «мощность множества»).