2. Операции над вероятностями
Теорема. Пусть A и B случайные события. Тогда:
P(A+B)= P(A)+P(B)–P(AB).
Доказательство. Пусть событию А благоприятствуют m исходов, из которых l исходов благоприятствуют событию AB. Пусть событию B благоприятствуют k исходов, из которых, очевидно, l исходов благоприятствуют событию AB. Тогда событию A+B благоприятствуют m+k–l исходов. Если n общее число возможных исходов, то имеет место равенство:
.
Теорема доказана.
Следствие. Если A и B несовместные события, то P(A+B)=P(A)+P(B).
Задача. Из урны, в которой находятся 10 белых, 5 красных и 5 синих шаров, наудачу выбирается один шар. Какова вероятность, что он окажется цветным?
Решение. Пусть событие A заключается в том, что из урны наугад выбран красный шар, событие B – выбран синий шар. Очевидно, A и B несовместные события, причем P(A)=0,25, P(B)=0,25. Тогда вероятность события A+B – выбран цветной (не белый) шар согласно следствию равна:
P(A+B)=P(A)+P(B)=0,5.
Задача. Из колоды в 36 карт наудачу выбирают одну карту. Какова вероятность того, что выбранная наугад карта окажется королем или трефовой масти?
Решение.
Пусть событие A
заключается
в том, что из колоды наугад выбран король.
Тогда P(A)=
.
Пусть событие B
заключается
в том, что из колоды наугад выбрана карта
трефовой масти. Тогда
.
Пусть событие С
заключается в том, что из колоды наугад
выбран король треф. Тогда
и, очевидно, С=AB.
Согласно
теореме:
P(A+B)=
P(A)+P(B)–P(AB)=
.
Определение. Если вероятность появления события В зависит о того, произошло или не произошло событие А, то в таком случае говорят, что событие B зависит от события А. Вероятность появления события В при условии, что произошло событие А называют условной вероятностью и обозначают P(B/A).
Пример. Из урны, в которой находятся 7 белых и 3 черных шара, наугад вынимается один шар, а затем еще один. Пусть А – событие, заключающееся в том, что «первый шар белый», а событие В – «второй шар белый».
Если известно, что событие А произошло, то вероятность появления события В можно подсчитать из следующих соображений.
После первой
выборки в урне останется 9 шаров, из
которых белых шаров окажется 6, а черных
3. Таким образом, при второй выборке
число событий благоприятных событию В
будет равно
6, а общее число исходов – 9. Соответственно,
.
Если же известно,
что событие А
не произошло,
то окажется, что после первой выборки
шаров в урне останется 9 шаров, в том
числе белых 7, а черных 2. И событий
благоприятных событию В
окажется 7
из 9, так что условная вероятность В
при произошедшем
событии C
– «первый шар черный» –
1 Полагаем известным, что Марс – планета солнечной системы, но никак не спутник Земли, а также что роман «Евгений Онегин» написал А.С.Пушкин.
1 Эти высказывания будем обозначать прописными латинскими буквами A, B, … P, Q…
2 В алгебре высказываний полностью абстрагируются от содержания высказываний. Их изучают только в связи с их свойством быть истинным или ложным, отождествляя истинное высказывание с 1, а ложное с 0.
1 Понятие равновозможных событий не определяется. Оно считается
1 На верхней грани игральной кости выпала цифра 3.
2 На верхней грани игральной кости выпала цифра 6.
3 Каждому из 6 различных случаев выпадения очков при первом броске соответствует 6 различных случаев при втором броске.