- •Занятие 1 Первообразная функция и неопределённый интеграл. Непосредственное интегрирование
- •Свойства неопределённого интеграла
- •Занятие 2 Метод подстановки (замена переменной) Цели
- •Аудиторное занятие
- •Примерный вариан решения индивидуального задания
- •Занятие 3 Интегрирование по частям
- •Аудиторное занятие
- •Домашнее задание
- •1. Метод сравнивания коэффициентов
- •2. Метод частных значений аргумента
- •Аудиторное занятие
- •Домашнее задание
- •Занятие 5 Интегрирование рациональных дробей вида
- •Примерный вариан решения индивидуального домашнего задания
- •Занятие 6 Интегрирование тригонометрических функций
- •Аудиторное занятие
- •Домашнее задание
- •Аудиторное занятие
- •Домашнее задание
- •Примерный вариан решения индивидуального домашнего задания
- •Занятие 8 Обзорное
- •Примерный вариант контрольной работы
- •Контрольные вопросы
- •1. Первообразная и её свойства
- •2. Неопределённый интеграл и его свойства
- •Литература
- •Содержание
- •Интегрирование некоторых иррациональностей…………………….С 65
Примерный вариан решения индивидуального домашнего задания
Найти интегралы:
№17. .
► = =
= = .◄
№32. .
► =
= =-ln|x+1|-2ln|x-2|+2ln|x-3|+C. ◄
№33. .
► = =
= =
= =
= .◄
№34. .
► =
= =
= =
= .◄
№35. .
► = =
= = =
= .◄
№22. .
► = =
= = = =
= .◄
№23. .
► =
= =
= = =
= =
= .◄
Занятие 6 Интегрирование тригонометрических функций
Знать:
Основные тригонометрические формулы;
основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений.
Уметь:
Использовать основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений.
Использование тригонометрических преобразований
Интегралы вида:
; ; , (16)
где , находятся с помощью формул:
;
;
.
Интегралы вида:
, (17)
Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби при помощи универсальной тригонометрической подстановки
= ; .
На практике применяются и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции.
если функция R(sinx;cosx) нечётна относительно sinx, т.е. R(-sinx;cosx)=-R(sinx; cosx), то следует применить подстановку
t=cosx; dt= -sinxdx; , .
если функция R(sinx;cosx) нечётна относительно cosx, т.е. R(sinx;-cosx)=-R(sinx; cosx), то следует применить подстановку
t=sinx; dt=cos x dx; .
если функция R(sinx;cosx) чётна относительно sinx и cosx, т.е. R(-sinx;-cosx)=R(sinx;cosx), то следует применить подстановку
t=tgx; ;
, .
Интегралы вида:
, (18)
1. где k, n — хотя бы одно число нечётное
отделить от нечётной степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;
2. где k, n — чётные положительные
применить формулы понижения степени:
; ; ;
3. где k, n — нечётные положительные
отделить от наименьшей степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;
4. где n — целое положительное число
применить подстановку t=sinx;
5. где k — целое положительное нечётное число
применить подстановку t=cosx;
6. где n+k — чётное отрицательное целое число
применить подстановку t=tgx;
7. где n и k — четные и хотя бы одно из них отрицательное
применить подстановку t=tg x или t=ctg x.
Интегралы вида:
, , (19)
если n=1, то
;
,
если n>1, воспользоваться формулами:
; ,
позволяющими понизить степень тангенса или котангенса непосредственно, отделяем один множитель и подводим его под знак дифференциала, находим исходный интеграл.
№6. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;
6) .
►1) = =
= = ;
2) = = =
= =
= =
= ;
3) = =
= = =
= = =
= ;
4) = = =
= = = ;
5) = = =
= = = =
= = = =
= +С;
6) = = = =
= = , ( .◄
Аудиторное занятие
Найти интегралы:
№248. . Ответ: .
№249. . Ответ: .
№250. . Ответ: .
№251. . Ответ: .
№252. . Ответ: .
№253. . Ответ: .
№254. . Ответ: .
№255. . Ответ: .
№256. . Ответ: .
№257. . Ответ: .
№258. . Ответ: .
№259. . Ответ: .
№260. .
Указание. Замена сosx=t.
Ответ: .
№261. .
Указание. Замена sinx=t.
Ответ: .