Контрольные вопросы

1. Первообразная и её свойства

1. Может ли функция иметь единственную первообразную на некотором промежутке?

2. Пусть y=F₁(x), y=F₂(x) — первообразные функции y=f(x) на некотором промежутке. Какой вид имеет график функции y=F₁ - F₂?

3. Может ли функция, график которой изображён на рисунке, являться первообразной некоторой функции?

4. Будет ли функция являться первообразной для функции на промежутке: а) ; б) ?

5. Верно ли утверждение:

а) графики любых двух первообразных можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси ОХ;

б) графики любых двух первообразных можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси ОY;

в) графики первообразных одной функции могут пересекаться;

г) графики первообразных одной функции никогда не пересекаться;

д) функция у=ln(-x) является первообразной для функции на интервале ;

е) если F(x) — первообразная для функции y=f(x), то

y=F(-x) является первообразной для функции y=f(-x)?

2. Неопределённый интеграл и его свойства

1. Верно ли, что:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) , где n — целое число;

ж) ;

з) ?

2. При каких значениях х справедлива формула:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ?

3. Известно, что на [a;b]. Следует ли отсюда, что f(x)=g(x) на этом промежутке?

4. Известно, что на [a;b]. Следует ли отсюда, что f(x)=g(x) на этом промежутке?

5. Пусть f(x) и g(x) — непрерывные функции и . Верно ли, что f(x)=g(x)?

6. Пусть f(x) и g(x) — непрерывные функции. Верно ли, что , т.е. интеграл от произведения двух функций равен произведению интегралов от них?

Указание. Например, рассмотреть функции f(x)=g(x)=х.

Литература

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике М.: «Высшая школа», 2002 – 466 с.

2. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. - Минск «Вышэйшая школа», 1967. – 529 с.

3. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.I. – М: Высш.шк., 1996. – 304 с.

4. Лихолетов И.И., И.П. Мацкевич Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. – Минск «Вышэйшая школа», 1969. – 452 с.

5. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2003. – 576с.:ил.

6. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – Санкт-Петербург «Лань», 2001 – 721 с.

7. Практикум по высшей математике для экономистов под ред. Проф. Н.Ш. Кремера, - М.: Дана, 2002390 с.

8. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. проф.В.И. Ермакова М.: Инфра-М, 2003 – 526 с.

Содержание

Занятие 1

Первообразная функция и неопределённый интеграл. Непосредственное интегрирование………………………..…………………………...с 4

Занятие 2

Метод подстановки (замена переменной)………………..………….с 15

Примерный вариант решения индивидуального домашнего задания №1-16……………………………………с 23

Занятие 3

Интегрирование по частям………………………………………..с 27

Примерный вариант решения индивидуального домашнего задания №26-31…………………………………..с 33

Занятие 4

Интегрирование рациональных дробей…………….……………….с 35

Занятие 5

Интегрирование рациональных дробей вида ……………с 46

Примерный вариант решения индивидуального домашнего задания №17, 33-35, 22, 23………………………...с 51

Занятие 6

Интегрирование тригонометрических функций……………………..с 55

Примерный вариант решения индивидуального домашнего задания №18-20, 38-40…………………………….с 63

Занятие 7