4. Множественный регрессионный анализ
В ходе работы студент знакомиться с множественным корреляционным анализом и множественным нелинейным регрессионным анализом и как программа TableCurve 3D анализирует данные.
4.1 Множественный корреляционный анализ.
Составляется таблица №3 исходных данных. Расчеты начинают с вычисления парных коэффициентов корреляции, определяющих тесноту связи между функцией и одним из факторов xj.
(28)
Суммы записаны в сокращенном виде, например
.
Для изучения тесноты связи между функцией отклика у и несколькими факторами x1, x2,…,xj,…,xp используют коэффициент множественной корреляции R. Коэффициент множественной корреляции служит, как указывалось выше, и для оценки качества предсказания; R всегда положителен и изменяется от 0 до 1. Чем больше R, тем лучше качество предсказаний данной моделью опытных данных.
Для вычисления коэффициента множественной корреляции используют формулу:
(29)
Значимость коэффициента множественной кореляции проверяют по t – критерию Стьюдента:
(30)
где SR – среднеквадратическая погрешность коэффициента множественной корреляции:
(31)
значимость R можно проверить также и по F – критерию Фишера:
(32)
Полученное значение
сравнивают с табличным
при выбранном уровне значимости и числах
степеней свободы
и
.
Если расчетное
значение
превышает табличное, то гипотезу о
равенстве коэффициента множественной
корреляции нулю отвергают и связь
считают статически значимой.
Величину R2 называют множественным коэффициентом детерминации; она показывает, какая часть дисперсии функции отклика объясняется вариацией линейной комбинации выбранных факторов x1, x2,…,xj,…,xp.
4.2 Множественный нелинейный регрессионный анализ.
Первый этап нелинейного множественного анализа – получение так называемой квадратной формы. Для этого определяют коэффициенты регрессии b0, bj, bjm и bjj в полиноме:
(33)
Степень
уравнения можно повышать до тех пор,
пока уменьшается остаточная дисперсия
. Начиная со второго шага каждому
повышению степени полинома предшествует
замена переменных, линеаризующая функции
xp+1=x12,
xp+2=x22
, xp+3=x32
и т.д..
Для практических целей, как правило, ограничиваются квадратичной формой. Как указывалось выше, при достаточно большом числе обрабатываемых опытных данных (n>500) и числе факторов р>10 повышение степени полинома становится крайне затруднительным для маломощных компьютеров.
Другой формой проведения нелинейного регрессионного анализа является использование так называемых «внутренне линейных» форм уравнений, т.е. форм, которые легко линеаризуются логарифмированием или другим преобразованием. К таким моделям относятся прежде всего мультипликативная модель:
(34)
логарифмируя это уравнение по основанию е, переводят его в линейную форму
(35)
Далее производят
замену переменных:
и т.д. Затем выполняют все операции
множественного линейного регрессионного
анализа. В конце расчетов производят
только одно обратное преобразование
для получения величины b0.
Существует большое множество внутренних форм уравнений, коэффициенты регрессии для которых рассчитываются подобным образом, т.е. решением системы нормальных уравнений, приведенным к линейному виду.
Мерой тесноты связи в нелинейной зависимости служит множественное корреляционное отношение, но используя для вычисления у нелинейную форму уравнения. Сравнение множественного корреляционного отношения с коэффициентом множественной корреляции, вычисленным по линейной форме, дает некоторое представление о «кривизне» изучаемой зависимости.
Методики проведения множественного регрессионного анализа могут быть сведены к трем разновидностям: 1) методу всех регрессий; 2) методу исключения переменных; 3) методу включения переменных.
