А) Движение груза

1. Изображаем груз А в текущий момент времени (рис. 369).

2. Изображаем активные силы: - вес груза, натяже-ние нити.

3. Освобождаем груз А от связей, заменяя действие связей реакциями. Связью является наклонная плоскость. Реакцию шероховатой опорной поверхности раскладываем на нормальную составляющую и касательную составляющую ( - сила тре­ния скольжения).

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 369.

5. Составляем дифференциальные уравнения движения точки.

Х = ∑Х_i; Х = Р_1x + T_1x + F_x + N_x; X = P₁sin α + T₁ - F;

Y = ∑Y_i; Y = P_1y+ T_1y + F_y + N_y; Y = N – P₁cos α;

, так как направление ускорения точки А совпадает с положительным направлением оси Oх. После подста­новки найденных величин в дифференциальные уравнения дви­жения точки А, получим:

m₁a₁ = P₁sin α + T₁ - F; 0 = N – P₁cos α; N = P₁cos α;

F=fN; F = fP₁ cos α;

m₁a₁ = P₁(sin a - f cos a) + T₁. (a)

б) Движение груза В:

1 . Изображаем груз В в текущий момент времени (рис. 370).

2. Изображаем активную силу - вес груза В и

натяжение нити.

3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 370. Достаточно выбрать одну ось Ох, так как тело движется по вертикали.

4. Составляем дифференциальное уравнение дви­жения:

Х = ∑Х_i; Х = Р_2x+ Т_2x = Р₂ - Т₂;

Рис. 370 m₂a₂ = P₂ – T₂ . (б)

Из уравнений (а) и (б) находим ускорение грузов, имея в виду, что а₁= а₂ = a, Т₁= Т₂ = Т;

.

Следовательно, точки А и В движутся прямолинейно и равноускоренно:

,

но v₀ = 0, так как грузы движутся из состояния покоя; начало координат выбираем так, что x₀ = 0. Следовательно,

Вывод. В том случае, когда на точку, участвующую в пря­молинейном движении, действуют постоянные силы, то эта точка движется равнопеременно. Ускорение равнопере-менного движения находится из дифференциальных уравнений движения. Для нахождения закона движения точки нужно найденное уско­рение подставить в кинематическую формулу пути равнопере­менного прямолинейного движения.

Пример 2. Сила - функция времени. Тело М начинает скользить по гладкой наклон­ной плоскости без начальной скорости в среде с сопротивлени­ем, равным 0,5Ре^-kt (k – неко-торое положительное число, Р - вес тела М). Определить уравнение движения тела, если угол на­клона плоскости к горизонту α = 30° (рис. 371).

Решение. 1. Изображаем тело М в текущий момент времени (рис. 371); тело можно считать за точку, так как тело движется поступательно.

2. Изображаем активную силу - вес тела и силу - со­противление среды.

3. Освобождаем тело М от связи, заменяя действие связи нормальной реакцией (наклонная плоскость гладкая).

Рис. 371. Рис. 372

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 372.

5. Составляем дифференциальное уравнение движения:

Х = ∑Х_i; Х = Р_x+ R_x + N_x = Р sin α - R;

;

.

6. Интегрируем полученное дифференциальное уравнение движения точки . Это уравнение с разделяю­щимися переменными: .

После интегрирования получим:

. (a)

.

Откуда:

. (б)

7. Составляем начальные условия движения (по тексту за­дачи) для определения произвольных постоянных интегриро-ва­ния С₁ и С_2. При t = 0 х(0) = 0, . Так как начало координат помещено в начальном положении тела М, то

x(0) = 0.

8. Начальные условия движения подставляем в уравнения (а) и (б):

1) следовательно, ;

2) следовательно,

9. Найденные С₁ и С₂ подставляем в результат интегрирования дифференциального уравнения движения точки, уравнение (б):

.

Задачи

Определение параметров прямолинейного движения по заданным силам

16. Тело движется вниз по гладкой плоскости, которая наклонена под углом α = 25° к горизонту. Определить ускорение тела. (4.15)

3 .1.17. Материальная точка (рис. 373) массой т = 5 кг движется под действием сил F₁ = 3 Н и F₂ = 10 Н. Определить проекцию ускорения

Рис. 373 точки на ось Ох. (1,13)

3.1.18. Тело движется вниз по наклонной шерохова-той плоскости, кото­рая образует с горизонтом угол 40°. Определить ускорение тела, если коэффициент трения скольжения f = 0,3. (4,05)

3.1.19. Материальная точка массой m = 9 кг движется в пространстве под действием силы . Определить модуль ускорения точ­ки. (1,17)

3.1.20. Моторная лодка массой т = 200 кг после остановки мотора дви­жется прямолинейно, преодолевая сопротивление воды. Сила сопро­тивления R = 4v². Определить ускорение лодки, когда ее скорость v = 5 м/с. (-0,5)

3.1.21. Тело массой т = 12 кг движется из состояния покоя по горизон­тальной прямой под действием силы F = 0,6t, которая направлена по той же прямой. Определить путь, пройденный телом по истечении 10 с после начала движения. (8,33)

3.1.22. Материальная точка массой т = 0,2 кг движется вдоль оси Ох под действием силы F_x = - 0,4 t. Определить скорость точки в момент времени t = 2 с, если ее начальная скорость v_x0 = 6 м/с. (2)

3.1.23. Определить путь, пройденный материальной точкой массой т по оси Ох за время t=1 с, если она движется под действием силы F_x = 12 mt². В момент времени t₀ = 0 координата x₀ = 3 м, скорость v₀= 6 м/с. (10)

3.1.24. Тело массой 1 кг падает по вертикали, сила сопротивления воз­духа R = 0,03v. Определить макси-мальную скорость падения тела. (327)

3.1.25. Материальная точка массой т = 2 кг движется по горизонталь­ной оси Ох под действием силы F_x = 5 cos 0,5 t. Определить скорость точки в момент времени t = 4 с, если при t₀ = 0 скорость v₀ = 0. (4,55)

3.1.26. Точка массой т движется по оси Ох под действием силы F_x = 6 т sin 2t. В начальный момент времени скорость точки v_0x= 3 м/с. Определить в уравнении ско­рости постоянную интегрирования. (6)

3.1.27. Материальная точка массой т = 7 кг из состояния покоя дви­жется по оси Ох под действием силы F_x= 7е^t. Определить скорость точки в момент времени t = 2 с. (6,39)

3.1.28. На материальную точку массой т = 20 кг, которая движется по горизонтальной прямой, действует сила сопротивления R = 0,2v². За сколько секунд скорость точки уменьшится с 10 до 5 м/с? (10)

3.1.29. На материальную точку массой т = 250 кг, которая движется по горизонтальной прямой, действует сила сопротивления R = 5 v². Определить скорость точки в момент времени t = 6 с, если t = 0 ее скорость v₀ = 20 м/с. (5,88)

3.1.30. Материальная точка массой т = 4 кг движется по горизонталь­ной прямой. Через сколько секунд скорость точки уменьшится в 10 раз, если сила сопротивления движению R = 0,8v? (11,5)

Определение параметров криволинейного движения по заданным силам

3.1.31. Материальная точка массой т = 4 кг движется по криволинейной траектории под действием силы . Определить модуль ускорения точки в момент времени t = 10 с. (1,25)

3 .1.32. Материальная точка (рис. 369) массой т = 2 кг движется в плоскости Оху под дейст-вием силы, проекции которой

и . Определить модуль ускорения точки в

Рис. 374 момент времени t = 1 с. (2,69)

3.1.33. Материальная точка массой т = 18 кг движется в горизонтальной плоскости по криволинейной траектории под действием силы F = 25 Н. Определить радиус кривизны траектории в момент времени, когда скорость точки v = 4 м/с, а векторы скорости и силы образуют между собой угол 55°. (14,1)

3.1.34. Тело движется по горизонтальной поверх­ности и в точке А отрывается от нее. Опреде­лить минимальную скорость тела в момент от­рыва, если радиус R = 6 м. (7,67)

3.1.35. На горизонтальном диске на расстоянии 2 м от его вертикальной оси вращения находится тело. Опреде-лить угловую скорость равно­мерного вращения диска, превышение которой приведет к скольже­нию тела по диску, если коэффициент трения скольжения f = 0,3. (1,21)

3.1.36. Космическая станция движется по круговой орбите радиуса R = 7·10⁶ м вокруг Земли. Определить скорость станции в км/с, если масса Земли равна 5,976·10²⁴ кг, гравитационная постоянная равна 6,672·10^-11 Н·м/кг². (7,55)

3.1.37. Материальная точка массой т = 11 кг движет-ся по криволиней­ной траектории под действием равно-действующей силы F = 20 Н. Определить скорость точки в момент времени, когда радиус кривиз­ны траектории ρ = 15 м и угол между силой и вектором скорости равен 35°. (3,96)

3 .1.38. Материальная точка массой т = 16 кг (рис.375) движется в плоскости по криволинейной траектории под действием равнодействующей силы F = 0,3t. Определить скорость точки в момент времени t = 20 с, когда радиус кривизны траектории ρ = 12 м и угол между векторами силы и скорости α = 50°.(1,86)

3.1.39. Определить скорость точки М конического маятника, который при длине нити ОМ = 1 м описывает конус с углом при вершине α = 45°. (2,63)

Р ис. 375 3.1.40. Материальная точка М (рис. 376) массой т = 1,6 кг движется из состояния покоя в горизонталь­ной плоскости по окружности радиуса R = 12 м под действием силы F = 0,2t. Опреде­лить скорость точки в момент времени Рис. 376 t = 18 с, если сила образует постоянный

угол 25° с вектором скорости. (3,38)