3.4.3. Теорема об изменении кинетического момента систе­мы

Кинетический момент механической системы относительно неподвижного центра равен геометрии-ческой сумме момента относительно этого центра количества движения системы, условно приложенного в центре масс, и кинетического момента системы относительно центра масс в ее относительном движении по отношению к центру масс.

.

Теорема об изменении кинетического момента систе­мы чаще всего применяется для исследования движения механической системы, состоящей из основного тела, несущего другие тела, при условии, что тело-носитель со­вершает вращательное движение относительно неподвиж­ной оси или неподвижной точки (в частности, относи­тельно центра масс), а движения несомых тел по отно­шению к основному заданы. При этом рекомендует-ся следующая последовательность решения задачи.

1. Изобразить материальную систему в промежуточ­ный (или заданный) момент времени.

2. Изобразить на рисунке приложенные к системе внешние силы.

3. Провести оси координат. Их начало и их направле­ния выбираются таким образом, чтобы суммы моментов внешних сил (активных и реакций) относительно наи­большего количества осей равнялись нулю. Если этого осуществить нельзя, то оси проводятся наиболее естест­венным образом, причем одна из них проводится вдоль оси вращения основного тела.

4. Записать формулы теоремы об изменении кинетиче­ского момента в проекциях на выбранные оси координат:

, , .(a)

5. Вычислить кинетические моменты системы L_x, L_y, L_z относительно осей для текущего момента времени, под­ставить их значения в уравнения теоремы и получить дифференциальные уравнения движения системы.

6. Используя дифференциальные уравнения, найти ве­личины, подлежащие определению.

7. Если одна из правых частей уравнений (a) рав­на нулю, то относительно соответствующей оси выполня­ется закон сохранения кинетического момента системы/

Например, если , то L_х = const = L_x0. В этом случае решение задачи сводится к определению кинети­ческого момента системы в начальный и текущий (или заданный) моменты времени и приравниванию этих зна­чений друг другу.

Пример 1. Круглая однородная горизонтальная платфор-ма радиусом r = √3 м и массой m₁= 20 кг вращается без трения вок­руг вертикальной оси с угловой скоростью ω = 2рад/с (рис. 442). В точке А на ободе платформы находится материальная точка К массой m₂ = 10кг. В некоторый момент времени (t = 0) эта точка начинает двигаться по хорде АВ платформы с постоянной относительной скоростью v_r = 4 м/с. Определить угловую скорость плат­формы, когда точка К попадает в точку В хорды АВ.

Решение. Изобразим механическую систему, состоящую из платформы и точки, в положении, когда материальная точка К находится в точке В платформы. В этот момент угловая ско­рость платформы равна ω. Изобразим внешние силы: силы тяжести , и реакции подши-пников . Все они или параллельны оси вращения, или пересекают ее, следова­тельно, их моменты относительно этой оси равны нулю. Поэтому проведем ось z вдоль оси вращения платформы и составим уравнение теоремы об из­менении кинетического момента систе­мы в проекциях на эту ось:

= 0,

т. е. выполняется закон сохранения кинетического момента си­стемы относительно оси z, поэтому

L_z = L_z0,

и задача сводится к подсчету кинетического момента в началь-ный момент и в момент, когда точка К достигла точки В хорды

Рис. 442 АВ.

Так как система состоит из двух тел, то ее кинетический мо­мент относительно оси z равен сумме кинетических моментов плат­формы и точки:

L_{z точ} =L_{z пл} + l_{z точ}.

При подсчете кинетические моментов следует помнить, что в их выражения входят абсолютные скорости. Относи-тельная скорость точки К нам задана: v_r = 4 м/с, а переносная — скорость точки В платформы — равна v_e= ωr. Поэтому

l_{z точ} = т₂v_rr cos 30˚ + m₂ωr₂..

Для платформы кинетический момент определяется как для твер­дого тела относительно его оси вращения:

.

Тогда

.

В начальный момент точка К относительно платформы не двига­лась, т. е. v_r0 = 0, поэтому

.

Приравнивая значения кинетических моментов системы для двух положений точки К получаем

= ,

откуда

рад/с.

П ример 2 Однородный блок Е массой т₁ и радиусом r мо­жет вращаться вокруг горизонтальной оси Оz (рис 443). Через блок перекинута гибкая нерастя­жимая нить на конце А кото-рой подвешен груз М массой т₂, а ко­нец В прикреплен к пружине BD жесткостью с. Конец D пружины закреплен неподвижно. Найти закон движения груза М, если в началь-ный момент он находился в положении статического равно­весия и имел скорость v₀ направ­ленную вертикально вниз. Тре­нием и проскаль-зыванием нити по блоку пренебречь.

Решение. Изобразим систе­му, состоящею из блока и груза, в произвольный момент времени. Изобразим на схеме действую­щие на систему внешние силы силы тяжести

Рис. 443 , ,

силу упругости пружины и реакцию оси блока , неизвест-ную ни по модулю, ни по направлению Положение блока определяется его углом поворота φ а положение груза – координатой s. Проскальзывание нити по блоку отсутствует и поэтому φr = s. Вы­берем начало отсчета φ и s в положении статического равновесия системы. В этом положении пружина уже имеет деформацию рав­ную δ_ст . Поэтому для изобра-женного на схеме положения дефор­мация пружины равна δ = δ_ст+ s, а сила упругости пружины F = cδ = c(δ_ст + s).

Для данной системы нельзя провести ось, относительно которой сумма моментов внешних сил равна нулю. Оси, расположенные в плоскости чертежа, рассматривать нельзя, так как относительно их и кинетический момент системы тождественно равен нулю. Поэтому для исключения из рассмотрения неизвестной реакции оси блока составим уравнение теоремы об изменении кинетиче­ского момента системы в проекции на эту ось.

,

(здесь мы использовали равенство F_ст = с δ_ст = Q).

Определим для рассматриваемого положения системы ее кине­тический момент

L_z = L_zM + L_zE

тело М движется поступательно, поэтому его кинетический момент относительно оси Оz равен мо­менту его количества движения относительно точки О:

L_zM = m₂vr, а кинетический момент блока относительно его оси вращения ра­вен произведению его момента инерции относительно этой оси на угловую скорость

L_zE = J_zω = m₁r²ω/2 = m₁r v/2 (здесь мы исполь­зовали равенство ω = v/r). Итак,

.

Подставив это выражение в формулу теоремы, получим

.

Поскольку , а то, перенеся все слагаемые в левую часть и разделив на коэффициент , стоящий перед , получим

.

Положим 2с/(2m₂+ m₁)= k², тогда уравнение, описываю-щее дви­жение тела М, примет вид дифферен­циального уравнения гармонических колебаний

,

решением которого является

s = C₁cos kt + C₂sin kt.

Определив предварительно , по началь­ным условиям (t = 0, s₀ = 0, = v₀) найдем постоянные C₁и С₂.

= - C₁k sin kt + C₂k cos kt, s₀ = 0 = C₁, = v₀ = C₂k.

Тогда C₁= 0, C₂ = v₀/k, и закон движе­ния груза М принимает вид

.

П ример 3. Горизонтальная платформа A массой т₁ = 9 кг закреплена на упругом стержне ОО₁ (рис. 444) и может совер-шать крутильные колебания вокруг вертикальной оси ОО₁, относительно которой радиус инерции платформы равен ρ. По платформе на неизменном расстоянии а от точки О движется материальная точ­ка К массой т₂ = т так что

К₀К = s = 0,27 a sin pt.

Найти вынуж­денные колеба-ния платформы, если жесткость стержня ОО₁ при кручении равна

с = amg, ρ = а, р = .

Решение. Если мы повернем платформу на угол φ вокруг оси ОО₁, то на нее со стороны упру-гого стержня будет действовать пара сил с моментом М = сφ, стремящимся вернуть платформу в

Рис. 444 исходное положение, при котором стержень ОО₁ не деформирован, т. е. не закручен. Таким обра-зом, внешними силами, действующи­ми на рассматриваемую систему, состоящую из платформы А и точки К, являются силы тяжести Р = 9тg, Q = тg и реакция упругого стержня (произвольно направленные силы и момент). Так как основное тело — платформа — совершает вращательное движение вокруг оси ОО₁,

для решения задачи применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно этой оси, кото-рую обозначим Oz. Тогда в правую часть уравнения вой­дет только составляющая М реактивного момента, направленная противоположно углу поворота платформы: таким образом,

.

Определим кинетический момент системы для ее текущего поло­жения:

L_z = L_zА + L_zK = J_zω + M_z(m₂ ),

где — абсолютная скорость точки К,

v_e — пере­носная скорость точки К,

v_r = s = 0,27 ap cos pt —относительная скорость точки К. Из чертежа видно, что v_е и v_r направлены вдоль одной прямой в одну и ту же сторону, поэтому

v_а = v_e+ v_r == ωа + 0,27ар cos pt.

Следовательно,

M_z(m₂ ) = m₂v_aa = m₂(ω+ 0,27р cos pt)a²,

L_z = m₁ρ²ω + m₂(ω + 0,27p cos pt)a².

Подставив последнее выражение в формулу теоремы, получим

,

или

.

Введем обозначения:

,

.

Тогда уравнение движения платформы имеет вид

.

Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний; его частное решение, определяющее вынужденные колебания при отсутствии резонанса (k ≠ p) запишется так:

.

В этой задаче мы опять встретились со случаем кинематического возбуждения колебаний.

Задачи

3.4.23. Материальная точка массой 0,5 кг движется в плоскости согласно уравнениям х = 2 t, y = 4 t. Опреде-лить момент равнодействующей всех приложенных к этой точке сил относительно начала координат в момент времени t = 1 с. (8)

3.4.24. Материальная точка массой 0,5 кг движется по закону . Определить момент равнодей-ствующей всех приложенных к этой точке сил относи-тельно начала координат. (8)

3.4.25. Материальная точка массой 1 кг движется по закону . Определить момент равно-действующей вех приложенных к этой сил относительно оси Ох в момент времени t = 1 c. (6)

3.4.26. Спортсмен, прыгая с трамплина в воду, делает в воздухе сальто. В момент отрыва от трамплина он сообщает себе угловую скорость ω₀ = 1, 5 рад/с вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр масс. При этом момент инерции спортсмена относительно оси вращения J₀ = 13,5 кг·м². Определить угловую скорость спортсмена, когда он во время полета, поджимая руки и ноги, уменьшил момент инерции до J = 5,4 кг·м². (3,75)

3.4.27. Внутренними силами системы (рис. 445) маховик 2 массой 20 кг, центральный момент инерции которого J_z1 = 1 кг·м², раскручивается до относительной угловой скорости ω_r = 40 рад/с. Определить угловую скорость ω держателя 1, если его момент инерции J_z = 4 кг·м², размер l = 1 м. (1,6)

3 .4.28. Тело вращается вокруг вертикальной оси Оz (рис. 446) под действием пары сил с моментом М = 16 t. Определить момент инерции тела относительно оси Oz, если известно, что в момент времени t = 3 с угловая скорость ω = 2 рад/с. При t = 0 тело находилось в покое. (36)

Рис. 445 Рис. 446 Рис. 447

3.4.29. Однородный стержень (рис. 447) массой m = 3 кг и длиной l = 1 м вращается вокруг вертикаль­ной оси Oz с угловой скоростью ω₀ = 24рад/с. К валу ОА прикладывается постоянный мо­мент сил торможения. Определить модуль этого момента, если стержень останавливается через 4 с после начала торможения. (6)

3.4.30. Тело вращается вокруг вертикальной оси Oz под действием двух пар сил с моментами и . Момент инерции тела относительно оси Oz равен 3 кг·м². Определить угло­вую скорость тела в момент времени t = 2 с, если в начальный мо­мент тело не вращалось. (6)

3.4.31. Однородный диск радиуса r = 0,1 м и массой 5 кг (рис. 448) соединен с четырьмя стержнями длиной l = 0,5 м и массой 1 кг каждый. Сис­тема тел начинает вращаться под действием внешних сил с угловой скоростью ω = 3t. Оп­ределить момент внешних сил относительно оси Oz. (1,79)

Рис. 448 Рис. 449 Рис. 450

3.4.32*. Круглая однородная горизонтальная плат-форма радиусом 1 м, массой 200 кг (рис. 449) вращается без трения вокруг верти­кальной оси Oz с угловой скоро-стью ω = 2 рад/с. В точке А платформы находится тело D массой 50 кг, которое можно при­нять за материальную точку. В некоторый момент времени (t = 0) тело D начи-нает двигаться по платформе по диаметру AВС с посто-янной относительной скоростью v_r = 2 м/с. Найти угло-вую скорость платформы в тот момент, когда тело находится в точке В платформы.

Ответ: ω₁ = 2,9 рад/с.

3.4.33*. Однородный стержень массой m₁ (рис. 450) вращается во­круг оси АВ с угловой скоростью ω₀. По прямой ОМ движется ма­териальная точка массой т₂, с постоянной относительной скоростью . Пренебрегая трением в подшипниках, найти угловую скорость ω стержня по истечении времени t после выхода точки из центра О.

Ответ: .

3.4.34*. Однородная круглая горизонтальная пласти-на массой 4 т (рис. 451) вращается вокруг вертикальной оси АВ, проходящей через центр О. По пластине на неиз­менном расстоянии r от оси враще­ния движется мате-риальная точка М массой т; закон относительного движе­ния точки s = r sin (πt/2). Трением в подшипниках можно пренебречь, R = 2r. Найти угловую скорость и угло­вое ускорение пластины, если в началь­ный момент она была неподвижной.

Ответ:

Рис. 451 Рис. 452

3.4.37*. Однородный диск массой m₁ закреплен на упругом стержне OO₁ (рис. 452) и мо­жет совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси. По ободу диска дви­жется точка М массой т₂ по закону

М₀М = s = a sin ωt. Найти вынужденные колеба­ния диска, если стержень закручивается на один радиан при статическом действии при­ложенной к концу О пары сил с моментом с; m₁ = 1 кг, m₂ = 0,4 кг, а = 1 см, r = 20 см, ω =14 рад/с, с = 80 Н·см/рад.

Ответ: φ = - 0,023 sin 14t.

3.4.35*. Груз А массой 10 кг прикреплен к тросу, намотанному на цилинд­рический барабан В радиусом 20 см. Груз падает из состояния покоя в течение двух секунд, после чего к барабану прикла­дывается постоян-ный тормозящий момент М. Считая бара­бан однородным сплошным цилиндром, найти момент, обес­печивающий остановку груза в течение последующих четырех секунд.

Ответ: М = 29,4 Н·м.

3.4.36*. Вал В радиусом r приводится во вращение вокруг горизон­тальной оси гирей А массой m₁ подвешен-ной к свободному кон­цу троса, намотанного на вал; масса вала m₂, его радиус инер­ции ρ. Для стабилизации вращения к валу прикладывается тор­мозящий момент, пропорциональный его угловой скорости: М = kω. Найти угловую скорость ω вала, предполагая, что в на­чальный момент она равна нулю; массой троса пренебречь.

Ответ: , где J = m₂ρ² + m₁r².