К О Р О Л Ё В С К И Й И Н С Т И Т У Т УПРАВЛЕНИЯ, ЭКОНОМИКИ И СОЦИОЛОГИИ

Утверждаю:

Проректор по учебной работе КИУЭС

В.В.Нефедьев

«___»___________ 2009 г.

Кафедра математики и естественнонаучных дисциплин Борисова о.Н. Интегральное исчисление функций одной переменной

Сборник контрольных задач и методических указаний

Королев, 2009

Борисова О.Н. Интегральное исчисление функций одной переменной. Сборник контрольных задач и методических указаний. - Королев: КИУЭС, 2009, 54 с.

Рецензенты: к.п.н., доцент Федосеева З.Р.

Сборник включает в себя задачи контрольных работ по курсу «Математика», раздел интегральное исчисление, и методических указаний по их решению. Предназначен для проведения практических занятий, контрольных работ, а также для самостоятельной работы студентов всех специальностей, изучающих данный курс.

РЕКОМЕНДОВАНО Учебно-методическим советом КИУЭС Протокол № от 2009 г.

Учебное пособие рассмотрено и одобрено на заседании кафедры математики. Протокол № от 2009 г.

Зав. кафедрой математики и естественнонаучных дисциплин КИУЭС д.ф.-м.н., профессор Борисов В.Ф.

Введение

Данное пособие содержит подборки задач, предназначенных как для самостоятельного решения, так и для проведения контрольных работ по курсу «Интегральное исчисление функций одного вещественного переменного». Все разделы содержат краткие формулировки основных понятий и теорем, необходимых для решения задач. В сборник включено 3 контрольные работы, каждая из которых приводится в 25 различных вариантах. Каждой контрольной работе предшествует разбор типового варианта.

Неопределённый интеграл

Первообразной от непрерывной функции f(x) называется любая функция F(x), для которой выполнено соотношение

.

Для любой функции f(x) имеется много первообразных, однако все они отличаются друг от друга на константу: если F₁(x) и F₂(x) – первообразные от f(x), то .

Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается так:

.

Здесь F(x) − любая фиксированная первообразная. Прямым дифференцированием можно проверить справедливость следующих соотношений.

Частные случаи формулы :

Имеется два основных приема вычисления неопределенных интегралов.

Замена переменной

Это наиболее часто используемый прием.

.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям позволяет «перебросить» производную с одного множителя, входящему в интегрируемую функцию, на другой

Во многих случаях угадать формулу замены переменной, упрощающей интегрируемую функцию, помогает занесение множителя под знак дифференциала

,

где − произвольная первообразная функции .

Так как производная постоянной функции равна нулю, а постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала, для произвольных постоянных и имеет место формула

.

Рекомендуется запомнить следующие формулы

Разберем типичные ситуации , в которых используется интегрирование по частям.

1) Под знаком интеграла стоит , , , умноженные на многочлен.