4) Избавление от иррациональности с помощью тригонометрических подстановок

В выражениях , , можно избавиться от радикалов, заменяя x на подходящую тригонометрическую функцию. Список замен приведен в таблице.

Интеграл	Замена

Примеры.

i)

ii)

iii)

5) Подстановки Эйлера. Подстановки Эйлера помогают избавиться от иррационального вида .

Пример.

Интегрирование рациональных функций от sin x и cos x.

1) Интегралы вида , , .

Различают два случая:

а) хотя бы одно из чисел p или q нечетно; тогда в качестве новой переменной интегрирования берут функцию sin x (если q нечетно) или cos x (если p нечетно).

б) если p и q оба четны, делают замену t = tg x или t = ctg x.

Примеры. i)

ii)

Поделим на с остатком:

Таким образом

2) Универсальная тригонометрическая подстановка.

Из курса тригонометрии известно, что функции sin x и cos x можно выразить как рациональные функции от :

.

Замена , , называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример.

Определенный интеграл

Определенный интеграл (Римана) позволяет распространить формулу площади прямоугольника на площадь более или менее произвольной плоской геометрической фигуры. В основе понятия определенного интеграла лежит так называемая интегральная сумма, определяемая следующим образом.

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок [a,b] на n частей [x₀,x₁], [x₁,x₂], …, [x_n1,x_n] (x₀ = a, x_n = b) произвольным образом. В частности, можно разбить [a,b] на n равных частей, тогда длина каждого отрезка разбиения будет равна . В общем случае, пусть . Возьмем опять же произвольным образом внутри каждого из отрезков [x_i1,x_i] по точке . Интегральной суммой функции на [a,b] по разбиению τ = (n, x₀, x₁, ..., x_n, , …, ) называется число

.

y

y = f(x)

a x_i−1 _i x_i b x

Если , то интегральная сумма есть площадь фигуры, состоящей из прямоугольников со сторонами ( ) и , i = 1, ..., n. Интуитивно ясно, что чем меньше максимальная длина отрезков разбиения , тем точнее эта фигура из прямоугольников приближает криволинейную трапецию с основаниями x = a, x = b и «боковыми сторонами» y = f(x), y = 0. Интеграл от f(x) по отрезку [a,b] есть предел от I(τ) по всевозможным разбиениям τ, когда 0. Предел понимается здесь в обычном смысле: число I называется определенным интегралом от f(x) по [a,b] (и обозначается как ), если для произвольного > 0 найдется такое >0, что, как только разбиение τ отрезка [a,b] удовлетворяет условию , интегральная сумма , отвечающая этому разбиению, отличается от I не больше, чем на

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что есть (с точностью до знака) площадь криволинейной трапеции, заключенной между графиком функции y = f(x), осью абсцисс и прямыми x = a, x = b. В частности, если на отрезке [a,b] заданы две функции f(x) и g(x), , то площадь криволинейной трапеции, заключенной между графиками этих двух функций, равна

y

y=f(x)

y=g(x)

a b x

Связь между определенным и неопределенным интегралом заключена в форуме Ньютона–Лейбница:

,

где F(x) – произвольная первообразная функции f(x). Разность значения функции F(х) в двух точках a и b принято обозначать так: . Справедливы следующие две формулы – замена переменной интегрирования и интегрирование по частям.