- •Кафедра математики и естественнонаучных дисциплин Борисова о.Н. Интегральное исчисление функций одной переменной
- •Введение
- •Неопределённый интеграл
- •Замена переменной
- •Интегрирование по частям
- •2) Интеграл вида , , .
- •3) Интеграл вида , .
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование иррациональных функций
- •4) Избавление от иррациональности с помощью тригонометрических подстановок
- •2) Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •Определенный интеграл
- •Замена переменной.
- •Интегрирование по частям.
- •Приложение определённого интеграла.
- •1) Площадь криволинейного сектора.
- •Контрольная работа №1
- •Решение варианта 0
- •Решение варианта 0
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант №13
- •Вариант №15
- •Вариант №23
- •Вариант №25
2) Интеграл вида , , .
3) Интеграл вида , .
Обозначим F(x) произвольную первообразную функции , получим
Выразим
.
Интегрирование рациональных функций
Рациональной функцией, или рациональной дробью, называется выражение вида , где и − многочлены степени n и m соответственно. Если n m, дробь называется неправильной, а если n m, то правильной. Неправильную рациональную дробь можно записать в виде суммы многочлена и правильной дроби. Для этого используется следующая процедура деления с остатком многочлена на многочлен (алгоритм Евклида).
Пусть , при этом , n m. Умножим на и вычтем получившееся выражение из . В результате получим некоторый многочлен , степень которого строго меньше , и при этом . Если степень все еще больше , применим описанный прием уже к многочлену , и так до тех пор, пока не получим «в остатке» многочлен степени строго меньше . Эта процедура деления разобрана далее на нескольких примерах (деление «уголком»).
Правильная рациональная дробь называется простой, если она принадлежит к одному из нижеперечисленных типов
Примеры простых дробей:
Любая правильная рациональная дробь может быть представлена как сумма простых дробей с подходящими коэффициентами. Такое разложение находят методом неопределенных коэффициентов, который мы проиллюстрируем на одном конкретном примере. Рассмотрим функцию:
. (1)
Составим комбинацию простых дробей, в знаменателях которых присутствуют все возможные делители знаменателя исходной функции:
После приведения этих пяти дробей к общему знаменателю получим:
(2)
Приравняв числители (1) и (2), получим уравнение
(3)
Соотношение (3) должно быть выполнено при всех значениях х. Подставим в (3) пять (по числу неизвестных коэффициентов A, B, C, D, E) различных значений х и получим систему уравнений на A, B, C, D, E:
Можно показать, что у такой системы всегда существует единственное решение. Решив эту систему (например, методом Гаусса), получим требуемое представление
Интегрирование любой простой дроби всегда сводится к интегрированию табличных функций. Приведем несколько наиболее типичных примеров:
1)
2)
3) .
Кратный неразложимый квадратный многочлен в знаменателе дроби.
1 способ. Интегрирование по частям.
2 способ. Замена переменной.
=
Интегрирование иррациональных функций
Большинство иррациональных функций не интегрируется в элементарных функциях. Есть лишь некоторые классы иррациональных функций, интегрирование которых с помощью той или иной замены переменной может быть сведено к интегрированию рациональных функций.
1) Интегралы вида где − рациональная функция, а − натуральные числа. Метод интегрирования – замена x= , где N – наименьшее общее кратное чисел .
Пример:
2) Интегралы Метод интегрирования – замена = .
Пример:
=
3) Интегралы вида где m, n и p – рациональные числа (дифференциальный бином). Интегралы такого вида сводятся к элементарным функциям только при следующих соотношениях параметров m, n и p.
Обозначим N наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n. Тогда имеется три случая интегрируемости для дифференциального бинома.
А) p – целое число. Метод интегрирования – замена
Б) – целое число. Метод интегрирования – замена , где s – знаменатель дроби p.
В) + p – целое число. Метод интегрирования – замена , где s – знаменатель дроби p.
Проиллюстрируем случаи Б) и В) на примерах.
i) .
Для данного интеграла , , . Поскольку , избавиться от иррациональности можно, взяв за новую переменную интегрирования радикал .
ii)
Для данного интеграла , , . Поскольку , избавиться от иррациональности можно, взяв за новую переменную интегрирования радикал .
.