§ 5.3. Графическое изображение электрического поля

Поле известно, если известен вектор напряженности в каждой точке. Электрическое поле можно изображать графически векторами напряженности. Этот способ удобен для изображения поля в отдельных точках. Если поле надо нарисовать в некоторой области пространства, то используют линии напряженности (их называют еще силовыми линиями). Касательная к силовой линии указывает направление в данной точке поля, густота (плотность) силовых линий вблизи этой точки равна или пропорциональна величине напряженности. Силовые линии электростатического поля выходят из положительного заряда и входят в отрицательный заряд. Другими словами, силовые линии электростатического поля имеют «истоки» - положительные заряды и «стоки» - отрицательные заряды. Силовые линии не пересекаются: в каждой точке поля вектор напряженности имеет единственное значение, так что через каждую точку поля проходит единственная силовая линия.

Другая характеристика поля – потенциал, также используется для графического изображения поля. Реальная или воображаемая поверхность в электрическом поле, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Сечение эквипотенциальных поверхностей плоскостью дает эквипотенциальные линии (эквипотенциали), которыми также можно изображать поле. Если эквипотенциальные линии рисовать с постоянным шагом , то они, как и линии напряженности, сгущаются в области сильного поля. Вспомните, как на плоской топографической карте изображают рельеф местности, в частности, горы и возвышенности. Линии напряженности перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Докажите это самостоятельно, используя связь напряженности и потенциала, рассмотренную в предыдущем параграфе³.

На практике, исследуя топографию электростатического поля, легче измерить потенциалы разных точек поля (скаляр - одно число), чем векторы напряженности (три числа), а затем, нарисовав эквипотенциальные линии, построить линии напряженности (с таким способом Вы встретились в лабораторной работе N 22).

§ 5.4. Способы расчета электростатического поля.

Из определения напряженности электростатического поля (формула 5.2.1) и закона Кулона (формула 5.1.1), следует, что напряженность поля точечного заряда q в точке, заданной вектором , проведенным из заряда:

(5.4.1)

Вектор напряженности электростатического поля точечного заряда направлен вдоль прямой, соединяющей точку, где находится заряд, с данной точкой поля. Он выходит из точки поля и направлен от заряда, если источником поля является положительный заряд, и к заряду, если он отрицательный. Величина напряженности

E= (5.4.2)

Пусть имеется система точечных зарядов q_i (i=1, 2, …). Поместим в некоторую точку системы, положение которой относительно каждого ее заряда указывает вектор _, заряд q. На него со стороны каждого заряда системы действует кулоновская сила. Их равнодействующая:

(5.4.3)

Полученный результат называется принципом суперпозиции (независимого сложения) электрического поля: если имеется несколько источников, то каждый из них создает свое поле независимо от всех прочих, и эти поля, складываясь, дают результирующее поле⁴. Формула принципа суперпозиции такова:

(5.4.4)

П

Рис. 17

ринцип суперпозиции позволяет рассчитать электрическое поле, созданное любыми заряженными телами, рассматривая их как систему точечных зарядов. Иногда это сопряжено с заметными математическими трудностями. Поле, созданное симметричным распределением зарядов, значительно легче рассчитать, используя теорему Гаусса. Ее формулировка использует понятие потока вектора напряженности через поверхность. Поток вектора – скалярная величина, он равен (или пропорционален) числу силовых линий, пересекающих эту поверхность. На рис. 17 силовыми линиями изображено электростатическое поле, в котором находится плоская поверхность площадью S. Ее пространственную ориентацию указывает нормаль , образующая с угол . Поток через эту элементарную поверхность равен EScos.=E_nS. Из определения ясно, что

поток положительный, если 0< 90⁰ (силовые линии входят в поверхность); поток отрицательный, если 90⁰<180⁰ (силовые линии выходят из поверхности); поток равен нулю, если  =90⁰ (силовые линии скользят по поверхности, не пересекая ее).

Т

Рис. 18

еперь найдем поток через замкнутую поверхность произвольной формы (рис.18). Разобьем эту поверхность на элементарные участки площадью dS (на рисунке они обозначены S), найдем элементарные потоки и просуммируем их по всей поверхности.

З аметим, что в любой точке замкнутой поверхности нормаль принято направлять наружу. . Поток – это разность числа входящих в поверхность и выходящих из нее силовых линий. Поток через замкнутую поверхность обозначают так: . Кружок на интеграле указывает, что поверхность замкнутая. Заметим, что на нашем рисунке поток равен нулю: линии насквозь проходят через поверхность, так что число входящих в поверхность силовых линий равно числу выходящих из нее. Вспомним, что силовые линии электрического поля начинаются и заканчиваются на зарядах. Понятно, что если внутри замкнутой поверхности нет зарядов, то поток через нее равен нулю. Мысленно деформируйте или переместите на новое место поверхность на рис. 18. Поток через нее всегда равен нулю, если заряд находится снаружи. Если заряд окажется внутри, то поток через поверхность любого размера и формы один и тот же. Это и есть содержание теоремы Гаусса: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную:

(5.4.5)