Лабораторная работа №6. Решение уравнений и систем уравнений

Решение уравнений

1 способ. Простейший способ найти корень уравнения с одним неизвестным обеспечит функция root(). Например, нам необходимо найти корень трансцендентного уравнения. Зададим начальное значение , решение дается функцией Точность вычислений определяется системной переменной TOL равной по умолчанию 10^-3

Проиллюстрируем полученное решение, определив точность вычислений ₁₀^-8.

Здесь мы явно изменили значение системной переменной TOL. - переменная с текстовым индексом, который вводится при помощи точки: x.0. Текстовый индекс - это просто декоративное украшение, он является составной частью имени переменной.

Примечание. При записи уравнений в качестве знака приравниваниz надо использовать «логическое равно», которое можно вставить с помощью сочетания Ctrl+=

Примечание. Если есть только одна точка пересечения, то можно не задать начальное приближение корня, в других случаях это сделать надо обязательно!

Две кривые строим указав через запятую cos(x),x С помощью графического способа можно определить, есть ли корни (решение) уравнения, сколько корней и где они приблизительно находятся.

Функция root имеет и другую форму записи, с четырьмя аргументами: root(f(x),x,a,b),

где f(x) – уравнение, x – искомый корень, a,b - границы поиска корня, причем a<b.

Например, решим уравнение

Получаем: Строим график левой и правой стороны уравнения Есть точка пересечения, воспользуемся функцией root с четырьмя аргументами, где a=0.5, b=1.5 Получаем ответ = 1

2 способ. Решение простых уравнений можно произвести 2 способами:

1. С помощью команды меню Symbolics / Variable пункт Solve (Символика / Переменная / Решение).

2. С помощью оператора символьного вывода решение осуществляется с помощью команды solve на панели Simbolic (Символика)

Например.

Уравнение	Уравнение:	Уравнение:
	Переносим все в одну часть и решаем:	Переносим все в одну часть и решаем:

Примечание. Способ solve имеет недостаток в том, результат нельзя сохранить в отдельной переменной и использовать в дальнейших вычислениях.

Решение систем уравнений

1 способ. Поиск корней при помощи блока Given .........Find(...)

Обычно, перед тем как приступить к численному решению, исследуют исходные уравнения с тем, чтобы убедиться в существовании решения, количестве корней, а также определения их грубых приближений для задания начальной итерации.

Пусть задана система уравнений: Нам нужно найти решение этой системы.
Выразим y как функцию х в обоих уравнениях и построим график.	Нужно задать начальное приближение: Далее вводим служебное слово Затем описываем уравнения. Знак логического равенства вводим Ctrl = или выбираем из палитры инструментов. Решение даёт функция Find()

Здесь могут решаться системы уравнений с несколькими неизвестными, однако, как и в предыдущем случае, необходимо задание начальной точки от которой будет происходить поиск решения. Решение ищется методом итераций и при наличии нескольких корней, очевидно, будет найдено лишь ближайшее решение, если оно существует.

2 способ. Поиск решения при помощи блока Given .........Minerr(...)

Практически то же, что и в предыдущем случае, однако здесь численное значение будет найдено даже при отсутствии решения. Дело в том, что здесь ищется не решение уравнений а точка, где достигается минимальное отклонение от искомого решения. Рассмотрим функцию, y(x) и найдем точку, в которой эта функция наиболее приближена к оси х.

При построении графика необходимо явно указать начальное значение на маркере оси y.

Первая строка даёт нам решение х=1, а системная переменная ERR показывает невязку уравнения. Аналогично решаются и более сложные уравнения или их системы.

Примечание: Количество уравнений в блоке Given .........Find(...) должно совпадать с количеством неизвестных.

Решение систем линейных уравнений

Для решения систем линейных уравнений можно использовать встроенную функцию lsolve(...).

Пусть задана система линейных уравнений: Матрицы коэффициентов:

Эта же задача при помощи блока Given ... Find(...)

Примечание: Использование функции lsolve() для решения систем линейных уравнений является более корректным.

Задания для самостоятельной работы:

1. Построить графическое решение и найти решение уравнений, используя функцию root:

a)		b)
c)		d)

2. Найти решение уравнений используя функцию solve

a)

b)

c)

3. Найти решение систем линейных уравнений:

a)

b)

c)

4. Построить графическое решение систем уравнений и, если решения имеются, найти численное значение.

a)		b)
c)		d)