2. Приложения алгебры логики в технике

Среди технических средств автоматизации значительное место занимают устройства релейно-контактного действия (РКС). Они широко используются автоматическом управлении, в электронно-вычислительной технике и т.д. Описание и конструирование таких схем в силу их громоздкости весьма затруднительно.

Использование алгебры логики в конструировании РКС оказалось возможным в связи с тем, что каждой схеме можно поставить в соответствие некоторую формулу алгебры логики, и каждая формула алгебры логики реализуется с помощью некоторой схемы [1,5,6]. Это обстоятельство позволяет выявить возможности заданной схемы, изучая соответствующую формулу, а упрощение схемы свести к упрощению формулы. С другой стороны, до построения схемы можно заранее описать с помощью формулы те функции, которые схема должна выполнять.

Рассмотрим, как устанавливается связь между формулами алгебры логики и переключательными схемами.

2.1. Описание комбинационных схем

Под переключательной схемой понимают схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из следующих элементов:

1) переключателей, которыми могут быть механические действующие устройства (выключатели, переключающие ключи, кнопочные устройства и т. д.), электромагнитные реле, электронные лампы, полупроводниковые элементы и т.п.;

2) соединяющих проводников;

3) входов в схему и выходов из нее (клемм, на которые подается электрическое напряжение). Они называются полюсами схемы.

Сопротивления, конденсаторы и т.д. на схемах не изображаются. Переключательной схемой принимается в расчет только два состояния каждого переключателя, которые называют «замкнутым» и «разомкнутым».

Рассмотрим простейшую схему, содержащую один переключатель Р и имеющую один вход А и один выход В. Переключателю Р поставим в соответствие высказывание р, гласящее: «Переключатель Р замкнут». Если р истинно, то импульс, поступающий на полюс А, может быть снят на полюсе В без потери напряжения. Будем в этом случае говорить, что схема проводит ток. Если р ложно, то переключатель разомкнут, схема тока не проводит, или на полюсе В снимается минимальное напряжение при подаче на полюс А максимального напряжения.

Если принять во внимание не смысл высказывания, а только его значение, то можно считать, что любому высказыванию может быть поставлена в соответствие переключательная схема на рисунке 1.

Рис. 1. Простейшая переключательная схема

Формулам, включающим основные логические операции, также могут быть поставлены в соответствие переключательные схемы.

Конъюнкция двух высказываний Р и Q будет представлена двухполюсной схемой с последовательным соединением двух переключателей Р и q (рис. 2).

Рис. 2. Последовательное соединение

Эта схема пропускает ток тогда и только тогда, когда  истинны высказывания  р и q одновременно.

Дизъюнкция двух высказываний р и q двухполюсной схемой с параллельным соединением  переключателей Р и Q (рис. 3).

Эта схема пропускает ток в случае, если истинно высказывание р или истинно высказывание q, то есть  р v q  1 .

Рис. 3. Параллельное соединение

Из схем 1, 2 и 3 путем последовательного и параллельного их соединения могут быть построены новые переключательные схемы, которые иногда называют П-схемами.

Может быть показано, [1], что всякая формула алгебры логики путем равносильных преобразований может быть представлена в виде формулы, содержащей только две операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание. Из этого следует, что всякая формула алгебры логики может быть изображена П-схемой и, обратно, для любой П-схемы может быть записана формула, которая изображается этой схемой.

Пример 2.1. Составить функцию, соответствующую контактной схеме на рис. 4.

Для решения необходимо выделить участки, соответствующие двум описанным типам соединений контактов. На рис. 4 эти участки обозначены цифрами.

Рис. 4. П-схема для составления логической функции

На участках 1-2, 4-5 контакты включены параллельно друг другу, следовательно, эти участки описываются соответствующими дизъюнкциями: x+y, ( + ) .

На участке 3-5 контакт y последовательно соединен с дизъюнкцией ( + ), следовательно, описываются конъюнкцией

.

Участки 3-5 и 1-2 соединены параллельно, следовательно, вся схема описана дизъюнкцией

.

Таким образом, схема описывается функцией

F(x,y,z)= .

После преобразований с использованием формул (1.3)-1.6) получим F(x,y,z)= .

Вместо переключательных схем часто используют так называемые логические схемы, в которых изображение контактов заменено обозначениями логических операций. Так, П-схема, описанная в примере, представляется в виде логической схемы (рис. 5):

Рис. 5. Логическая схема, соответствующая П-схеме