7. Роль поворотного множителя при графическом изображении комплексных чисел

Выражение е называется поворотным множителем и обозначает, что

вектор, изображающий комплексное число |А| е , повернут относительно вещественной полуоси «х» на угол α против направления движения часовой стрелки. Отрицательному значению угла α соответствует поворот вектора по часовой стрелке.

Показатель степени «j α» в выражении е должен быть отвлеченным числом. Это означает, что угол «α» в выражении «j α» должен быть выражен в радианах. Однако ради большей наглядности допускается запись угла «α» в градусах.

При расчетах электрических цепей встречаются случаи вычислений с поворотным множителем, результаты которых полезно запомнить:

1. е = cos 0 + j sin0 = 1 + 0 = 1;

2. е = е = cos (π / 2) + j sin(π / 2) = 0 + j*1 = j;

3. е = е = cos ( - π / 2 ) + j sin( - π / 2 ) = 0 - j*1 = -j;

4. е = е = ( е ) = ( j ) = - 1.

Таким образом, в результате умножения комплексного числа на поворотный множитель е положение вектора, изображающего комплексное число, не изменя

ется, во втором случае направление вектора совпадает с направление полуоси «+j»

( т.е. вектор расположен вверх ), в третьем случае вектор расположен вниз, в четвертом случае вектор в результате умножения поворачивается на 180º против часовой стрелке ( при + 180º ) или по часовой ( при - 180º ).

В последнем случае направление поворота не имеет значения, т.к. при повороте как против часовой, так и по часовой стрелке, вектор занимает положение, противо

положное исходному.

В конце объяснения представим одно и тоже число А в разных формах:

1. в алгебраической А = 3 + j4;

2. в графической – в виде вектора на рис.2;

3. в тригонометрической А = 5 ( cos 53º + j sin53º );

4. в показательной А = 5 е .

Таким образом, из четырех форм записи комплексного числа А только две –

алгебраическая и тригонометрическая, строго соответствуют понятию «комплекс-

ное число», т.е. такое число, которое состоит из нескольких частей.

Следует отметить, что при расчетах электрических цепей символическим методом часто приходится переходить от одной формы представления комплекс-

ного числа к другой, например, от алгебраической к показательной. Для таких переходов применяют простейшие действия над числами, а именно: сложение, вычитание, умножение и деление.

Часть 2. Действия с комплексными числами

1. Сложение и вычитание комплексных чисел

Для сложения и вычитания комплексных величин и чисел используют их алгебра-

ическую и графическую формы представления.

1.1. Сложение и вычитание комплексных чисел в алгебраической форме

При сложении комплексных чисел ( комплексов ) складываются отдельно их вещественные и мнимые составляющие, например,

А + В = ( А' + j А" ) + ( В + j В" ) = ( А' + В' ) + j( А" + В" ) =

= С + jС" = С ( 11 )

При вычитании комплексных чисел ( комплексов ) вычитаются отдельно их вещественные и мнимые составляющие, например,

А - В = ( А' + j А" ) - ( В + j В" ) = ( А' - В' ) + j( А" - В" ) =

= С + jС" = С ( 12 )

Вычитание комплексных чисел можно заменить простейшим действием элементарной алгебры, а именно - сложением уменьшаемого числа с вычитаемым, взятым с обратным знаком:

С = А – В + А + ( - В ),

или

С = ( А' + j А" ) + ( - В – j В" ) = ( А' - В' ) + j( А" - В" ) =

= С + jС" = С ( 13 ).

Пример 5. Найти сумму С чисел А = 3 + j 4 и В = 5 + j 8.

Решение. Сумма С = А + В = 3 + j 4 + 5 + j 8 = 8 + j 12.

Пример 6. Найти сумму С чисел А = 4 + j 6 и В = - 5 + j 8.

Решение. Сумма С = А + В = 4 + j 6 + ( - 5 + j 8 ) = -1+ j14.

Пример 7. Найти разность С чисел А = 80 + j 90 и В = 50 – j 30.

Решение. Разность С = 80 + j 90 – ( 50 – j 30 ) = 80 + j90 – 50 + j 30 =

= 30 + j120.

Пример 8. Найти сумму С чисел А = 10е и В = 6е .

Решение. Выразим комплексные числа в алгебраической форме:

А = 10е = 10 cos 45º + j10sin 45º = 10*0,707 + j10*0,707 = 7,07 + j7,07

В = 6е = 6 cos 30º - j6 sin 30º = 6*0,866 – j6*0,5 = 5,2 – j3.

Сумма С = А + В = 7,07 + j7,07 + (5,2 – j3 ) = 12,27 + j4,07.

Преобразуем число С из алгебраической в показательную форму:

модуль суммы | C | = = 12,9;

тангенс аргумента tg α = C"/ С' = 4,07 / 12,27 = 0,331;

α = arc tg α = arc 0,331 = 18º20';

число С = 12,9е .