2.2. Умножение и деление комплексных чисел в показательной форме
Умножение
Перемножим два комплекса, заданных в показательной форме: А = |А|е и В =
= |В|е .
Тогда С = А*В = |А|е *|В|е = | A*B|е = |C|е ( 16 ),
откуда |C| = | A*B| и γ = α + β.
Таким образом, произведение двух комплексов представляет собой новый комп-
лекс, модуль которого равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргумен-
тов перемножаемых комплексов.
Пример 9. Найти произведение
комплексов А = 15е
и В = 5.
Решение. С = А*В = 15е *5 = 75е .
Пример 10. Найти произведение
комплексов А = 30е
и
В = 5е
.
Решение. С = А*В = 30 е *5 е = 150е .
Пример 11. Найти произведение
комплексов А = 70е
и
В = 0,5е
.
Решение. С = А*В = 70е
*0,5е
=
35 е
..
2.2. Деление
Разделим два комплекса, заданных в показательной форме: А = |А|е и В = |В|е .
Тогда С = А/В = |А|е /|В|е = | A/B|е = |C|е ( 17 ),
Откуда |C| = | A/B| и γ = α - β.
Таким образом, произведение двух комплексов представляет собой новый комп-
лекс, модуль которого равен частному от деления модулей, а аргумент – разности аргументов делимого и делителя.
Пример 12. Найти частное от деления комплексов А = 15е и В = 5.
Решение. С = А/В = 15е / 5 = 3е .
Пример 13. Найти частное от деления комплексов А = 30е и В = 5е .
Решение. С = А/В = 30 е
/
5 е
= 6е
.
Пример 14. Найти частное от деления комплексов А = 70е и В = 0,5е .
Решение.
С = А/В = 70е
/
0,5е
=
140 е
.
Часть 3. Представление синусоидальных величин в комплексной форме
Представим в комплексной форме основные физические величины и законы:
напряжение и ток;
сопротивление и проводимость;
закон Ома, 1-й и 2-й законы Кирхгофа;
мощность;
Комплексная форма напряжения
Рассмотрим комплексную форму напряжения в двух случаях:
переменное напряжение изображается вектором, вращающимся с угловой скоростью ω;
переменное напряжение изображается неподвижным вектором.
1-й случай ( угловая скорость вектора напряжения ω ≠ 0 ).
Предположим, что напряжение изменяется по закону
u = U
sin
( ωt + ψ
) ( 20 ),
где: u – мгновенное значение напряжения, В;
U - амплитудное значение напряжение, В;
ω – угловая частота
переменного тока, рад / с ( с
);
t – промежуток времени между моментом времени t = 0 и данным моментом,
с;
ψ – начальная фаза напряжения, электрический градус.
Такое напряжение можно представить комплексным числом
Ủ = U *е = U cos ( ωt + ψ ) + j U sin ( ωt + ψ ) ( 21 ).
В правой части этого числа выражение U sin ( ωt + ψ ) представляет собой мгно-
венное значение синусоидально изменяющегося напряжения. Поскольку в правую часть выражения входит время, эта форма позволяет найти мгновенное значение
напряжения для любого момента времени t. ( см. пример 19 ).
Пример 18. Напряжение изменяется по закону u = 310 sin ( 314t + 30º ). Представить это напряжение в комплексной форме.
Решение. Ủ
=
310*е
.
Пример 19. Напряжение изменяется
по закону . Ủ
=
310*е
.
Найти мгновенные значения этого напряжения для моментов времени t = 0; 0,0025 с; 0,005 с; 0,0075 с; 0,01 с; 0,0125 с; 0,015 с; 0,0175 с; 0,02 с.
Решение. Мгновенное значение синусоидально изменяющегося напряжения
u
=
U
sin ( ωt + ψ ) = 310 sin ( 314t + 30º ).
Примечание: для расчета числа sin ( 314t + 30º ) надо перевести радианы
( в данном случае – 314 ), в градусы. Для этого число радиан ( 314 ) умножают на число градусов в одном радиане, т.е. на число 360º/ 2π ( 1 рад = 360º/ 2π = 57º3' ).
Для момента времени t = 0
u
=
310 sin ( 314*0 + 30º ) = 310 sin
30º = 310*0,5 = 155 В.
u
= 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,0025*+ 30º
] = 310 sin( 45º + 30º ) = 310 sin 75º = 300 В;
u
= 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,005*+ 30º
] = 310 sin( 90º + 30º ) = 310 sin 120º = 268 В;
u
= 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,0075*+ 30º
] = 310 sin( 135º + 30º ) = 310 sin 165º = 80 В;
u
=
310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,01*+ 30º ] =
310 sin( 180º + 30º ) = 310 sin 210º = - 15,5 В;
u
= 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,0125*+ 30º
] = 310 sin( 225º + 30º ) = 310 sin 255º = - 300 В;
u
= 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,015*+ 30º
] = 310 sin( 270º + 30º ) = 310 sin 300º = - 268 В;
u
=
310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,0175*+ 30º ]
= 310 sin( 315º + 30º ) = 310 sin 345º = - 80 В;
u
=
310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,02*+ 30º ] =
310 sin( 360º + 30º ) = 310 sin 390º =
= 155 В.
По найденным числовым значениям при необходимости можно построить волновую ( в виде синусоиды ) диаграмму данного переменного напряжения u ( t ).
2-й случай ( угловая скорость вектора напряжения ω = 0 ).
Подставляем ω = 0 во все полученные в 1-м случае соотношения.
Такое напряжение можно представить комплексным числом
Ủ = U *е = U cos ( ωt + ψ ) + j U sin ( ωt + ψ ) = U cos ( 0*t + ψ ) + j U sin (0*t + ψ ) = U cos ψ + j U sin ψ ( 22 ).
В правой части этого числа выражение j U sin ψ - это мгновенное значе-
ние синусоидально изменяющегося напряжения. На комплексной плоскости j ( х ) это выражение выражается проекцией вектора U на вертикальную ось.
Поскольку в правую часть выражения не входит время ( t = 0 ), это выраже-
ние позволяет найти мгновенное значение напряжения только для момента времени t = 0.
Для действующих значений напряжения получим аналогичное выражение
Ủ = U*е ,
где: U = U
/
-
действующее значение напряжения.
Пример 20. Напряжение изменяется по закону u = 310 sin ( 314t + 30º ). Представить это напряжение в комплексной форме.
Решение. Ủ = 310*е .
Пример 21. Напряжение изменяется по закону u = 310 sin ( 314t + 30º ). Представить действующее значение этого напряжения в комплексной форме.
Решение. Действующее значение напряжение U = U / = 310 / = 220 В.
Это напряжение в комплексной форме Ủ = 220*е .
Все приведенные выше рассуждения, касавшиеся напряжений, полностью относятся к токам.
Например, если ток изменяется по закону ι = I sin ( ωt + ψ ), то его можно представить комплексным числом
Ĭ = I *е = I cos ( ωt + ψ ) + j I sin ( ωt + ψ ) ( 23 ).
Поскольку в правую часть выражения входит время, это выражение позволяет найти мгновенное значение тока для любого момента времени t.
Если принять ω = 0 ( вектор тока не вращается ), то комплекс такого тока
Ĭ = I *е = I cos ψ + j I sin ψ ( 24 ).
Поскольку в правую часть выражения не входит время ( t = 0 ), это выражение позволяет найти мгновенное значение тока только для момента времени t = 0.