1.2. Сложение и вычитание комплексных чисел в графической форме
Каждое комплексное число может быть представлено вектором, поэтому сложению комплексов соответствует сложение векторов.
Действительная составляющая суммарного вектора равна алгебраической сумме действительных составляющих суммируемых векторов ( рис.4 ), т.е.
С' = А' + В' ( 14 )
Аналогично, мнимая составляющая суммарного вектора равна алгебраиче-
ской сумме мнимых составляющих суммируемых векторов ( рис. 4 ), т.е.
С" = А" + В". ( 15 )
Вычитание векторов, представляющих комплексные величины, можно заменить сложением уменьшаемого вектора с вычитаемым вектором, взятым с обратным знаком ( рис. 5 )
Рис. 4. Сложение векторов А и В Рис. 5. Вычитание вектора В из вектора А
2.Умножение и деление комплексных чисел
Возможны 2 случая умножения и деления комплексов:
комплексы заданы в показательной форме;
комплексы заданы в алгебраической форме.
2.1. Умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме Умножение
Перемножим два комплекса, заданных в алгебраической форме: А = А' + jА" и
В = В' + j В".
С = А*В = ( А' + j А" )*( В' + j В" ) = А'*В' + А'*j В" + jА"* В' + j А"*В" =
= (А'*В' - А"*В" ) + j (А'*В'' + А"* В' ) = С' + С" ( 18 ).
Пример. Найти произведение комплексов А = 2 + j 4 и В = 8 + j 6.
Решение. С = А*В = ( 2 + j 4 )*( 8 + j 6 ) = ( 2*8 – 4*6 ) + j ( 2*6 +4*8 ) =
( 16 – 24 ) + ( 12 + 32 ) = - 8 + j44.
Деление
Особенностью деления двух комплексов является дополнительное умно-
жение делимого и делителя, т.е. числителя и знаменателя на сопряженный комп-
лекс. Как известно, умножение числителя и знаменателя на одно и то же число не изменяет дробь. Однако в данном случае в результате такого умножения в знаменателе образуется вещественное число, что резко упрощает дальнейший расчет.
Сопряженными называются два таких комплекса, мнимые части которых имеют противоположные знаки.
Пусть имеется комплекс А = А'+ j А", тогда сопряженный с этим числом комплекс Ậ = А' – j А".
Пусть надо разделить комплекс А на комплекс В:
С = А / В = ( А'+ j А") / ( В'+ j В").
Умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель
( В'- j В"):
С = ( А'+ j А")*( В'- j В") / ( В'+ j В")*( В'- j В") = (А'* В' - j А'* В"+ j А"* В' - j А"* *В") / ( В' + В" ) = ( А'* В' + А"* В") / ( В' + В" ) + j*( А"* В' - А'* В") / ( В' + В" ) = C' + C" ( 19 ).
Как видим, в знаменателях действительной и мнимой частей находится одно и то же действительное число ( В' + В" ), что резко упрощает расчет.
Пример 15. Для комплекса А = 5 + j 8 найти сопряженный комплекс.
Решение. Сопряженный комплекс Ậ = 5 – j 8.
Пример 16. Найти произведение сопряженных комплексов, одним из которых является А = 5 + j 8.
Решение. Ĉ = А* Ậ = ( 5 + j 8 )*( 5 – j 8 ) = 5 + 8 = 25 + 64 = 89.
Пример 17. Найти частное от деления комплексов А = 6 + j20 и В = 3 + j4.
Решение. С = А / В = ( 6*3 + 20*4 ) / ( 3 + 4 ) + j*( 20*3 – 6*4 ) / ( 3 + 4 ) =
= ( 18 + 80 ) / 25 + j*( 60 – 24 ) / 25 = 3,92 + j 1,44.