2. Комплексная форма сопротивлений и проводимостей
Комплексным сопротивлением электрической цепи называется отношение комплексного напряжения Ủ к комплексному току Ĭ:
Ž = Ủ / Ĭ = U*е / I *е = ( U / I )*e = z ( cosφ + j sinφ ) =
= r + j х ( 25 ),
где: Ž – комплексное сопротивление цепи, Ом;
U – модуль комплексного напряжения, равный действующему его значению, В;
I - модуль комплексного тока, равный действующему его значению, А;
z, r и х – полное, активное и реактивное сопротивления цепи, Ом.
При записи сопротивления в комплексной форме вещественная часть комп-
лексного сопротивления всегда равна активному сопротивлению, а мнимая часть – реактивному.
При индуктивной нагрузке мнимая часть комплексного сопротивления положительна, при емкостной – отрицательна.
Пример 22. В цепь переменного
тока включены резистор и индуктивность
с сопротивлениями r = 3 Ом,
х
= 4 Ом. Представить полное сопротивление
цепи в
комплексной форме.
Решение. Полное сопротивление цепи z = r + j х = 3 + j 4 ( Ом ).
Пример 23. В цепь переменного тока последовательно включены резистор и ем-
кость с сопротивлениями r
= 3 Ом, х
= 4 Ом. Представить полное сопротивление
цепи в комплексной форме.
Решение. Полное сопротивление цепи z = r – j х = 3 – j 4 ( Ом ).
Пример 24. В цепь переменного тока последовательно включены резистор, индуктивность и емкость с сопротивлениями r = 3 Ом, х = 12 Ом и х = 4 Ом. Представить полное сопротивление цепи в комплексной форме.
Решение. Полное сопротивление цепи z = r + j х - j х = r + j х - j х =
= r + j ( х - х ) = 3 + j ( 12 - 4 ) = 3 + j 8 ( Ом ).
Пример 25. В цепь переменного тока последовательно включены резистор, индуктивность и емкость с сопротивлениями r = 3 Ом, х = 4 Ом и х = 12 Ом. Представить полное сопротивление цепи в комплексной форме.
Решение. Полное сопротивление цепи z = r + j х - j х = r + j х - j х =
= r + j ( х - х ) = 3 + j ( 4 - 12 ) = 3 – j 8 ( Ом ).
Комплексной проводимостью электрической цепи называется отношение комплексного тока Ĭ к комплексному напряжению Ủ:
Ŷ = Ĭ / Ủ = I*е / U*е = ( I / U )* е = ( I / U )* е =
= y*е = y ( cosφ – j sinφ ) = g – j b ( 26 ),
где: Ŷ - комплексная проводимость, См ( 1 / Ом );
y – полная проводимость цепи, См;
g – активная проводимость цепи, См;
b - реактивная проводимость цепи, См;
3. Комплексная форма закона Ома и 1-го и 2-го законов Кирхгофа
Закон Ома в символической форме для цепи переменного тока:
Ĭ = Ủ / Ž = Ủ* Ŷ ( 27 ).
Первый закон Кирхгофа - алгебраическая сумма комплексных токов в узле электрической цепи равна нулю:
Ĭ
= 0 ( 28 ),
при этом комплексные токи, направленные к узлу ( условно ), считаются положи-
тельными, а от него – отрицательными.
Второй закон Кирхгофа – во всяком замкнутом контуре алгебраическая сумма комплексных электродвижущих сил равна алгебраической сумме комплексных падений напряжений в этом контуре:
Ề = Ĭ * Ž ( 29 ),
при этом комплексные э.д.с и токи, направленные по обходу контура ( условно ),
считаются положительными, а комплексные э.д.с и токи, направленные против
обхода контура – отрицательными.