Симметрия и законы сохранения

 

Впервые закон сохранения энергии использовался и был инстинктивно осознан в механике еще до Галилея. Законы сохранения импульса и углового момента в их наиболее полном виде использовались не очень широко, хотя в частном случае центрального движения они, разумеется, приводят к одному из законов Кеплера. В большинстве книг по механике, написанных в конце 19-го века и даже позднее, вообще не упоминается общая теорема о сохранении углового момента. Между тем эта теорема должна была быть общеизвестна, поскольку механики, занимавшиеся проблемой трех тел, где она используется, разумеется, неоднократно прибегали к ней. И все же должного внимания этой теореме не уделялось.

 Положение резко изменилось, когда (в основном после появления теорий Эйнштейна) стали уделять много внимания инвариантности уравнений. Эйнштейн в явном виде сформулировал постулаты о симметрии пространства, т.е. об эквивалентности направлений и различных точек пространства, причем сделал это в весьма яркой форме. Тем самым Эйнштейн в модифицированном виде вновь установил эквивалентность координатных систем, находящихся в состоянии движения и покоя. Что же касается законов сохранения, то их значение стало очевидным, когда физики, заинтересовавшись моделью атома Бора, осознали всю важность теоремы о сохранении углового момента.

 Энергия. В механике существуют такие функции от координат и скоростей системы, которые сохраняют при движении постоянные значения, зависящие только от начальных условий. Эти функции называют интегралами движения. Число независимых интегралов движения для замкнутой механической системы с s степенями свободы равно 2s – 1.

 Однако далеко не все интегралы движения играют одинаково важную роль в механике. Среди них есть несколько, постоянство которых имеет весьма глубокое происхождение, связанное с основными свойствами пространства и времени – их однородностью и изотропией. Все эти, как говорят, сохраняющиеся величины имеют важное общее свойство аддитивности – их значение для системы, состоящей из нескольких невзаимодействующих частей, равно сумме значений для каждой из частей по отдельности.

 Предположим, например, что два тела взаимодействуют лишь в течение некоторого времени. Поскольку как до, так и после взаимодействия каждый из аддитивных интегралов всей системы равен сумме их значений для обоих тел в отдельности, то законы сохранения этих величин сразу дают возможность сделать ряд заключений о состоянии тел после взаимодействия, если их состояния до взаимодействия известны.

 

Существование закона сохранения энергии связано с однородностью времени.

 Каждая механическая система характеризуется определенной функцией от координат и скоростей, так как именно их задание определяет механическое состояние системы.

 

Закон сохранения энергии справедлив не только для замкнутых систем, но и для систем, находящихся в постоянном (т.е. не зависящем от времени) внешнем поле.

 Энергия системы может быть представлена в виде суммы двух существенно различных членов: кинетической энергии, зависящей от скоростей, и потенциальной энергии, зависящей только от координат частиц.

 

Импульс. Другой закон сохранения возникает в связи с однородностью пространства.

 В силу этой однородности механические свойства замкнутой системы не должны меняться при любом параллельном переносе системы как целого в пространстве.

 Момент импульса. Возникновение закона сохранения момента импульса связано с изотропией пространства.

 Эта изотропия означает, что механические свойства замкнутой системы не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве.