Управление и оптимизация / Satin - Optimizatsionniye metodi upravleniya 2014

Полагаем, что у региональных дилеров стоимость пожарных автоцистерн ОАО «Посевнинский завод противопожарного и специального оборудования» и ОАО «Пожтехника» г. Торжок одинакова.

Таблица 2.2

Стоимость пожарных автоцистерн у производителя

Объем поставки				V < 2	3≤ V	5< V < 10	V ≥
					≤5		10
Цена ОАО «Пожтехника» г. Торжок b(VТ), млн				2,4	2,3	2,2	2,1
руб.
Цена	ОАО	«Посевнинский	завод	2,2	2,2	2,0	1,9
противопожарного и специального оборудования»
b(VП), млн руб.

							Таблица 2.3
Зависимость цены от объема поставки у региональных дилеров
Vi	0 < V < 2		3≤ V <5		5≤ V < 10			V ≥ 10
q(V)	3		2,8		2,6		2,3
							Таблица 2.4
	Разность цен производителя и дилера
Объем поставки		2		3		5		10
ε(VТ), млн руб.		0,6		0,5		0,4		0,2
ε(VП), млн руб.		0,8		0,6		0,6		0,4

Опишем метод получения нижней оценки стоимости заказа. Для получения такой оценки, заменим функции Sk(xk) непрерывными выпуклыми функциями, которые всюду меньше (или равны) исходных функций. Оценочные функции s1(x1) 2,1x1 , s2 (x2 ) 1,9x2 .

Решим задачу минимизации суммы оценочных функций. Эта задача линейного (в общем случае выпуклого) программирования, для которой существуют эффективные методы решения. В рассматриваемом примере все имеющееся количество пожарной техники х2= 18 у второго производителя по цене b2=1,9, а остальные х1 = 5 единицы у первого по цене b1=2,3. Стоимость заказа составит 45,7 млн рублей. Фактическая стоимость такого заказа составляет 18 ∙1,9 + 5 · 2,3 = 45,7 млн рублей.

Опишем более подробно алгоритм решения оценочной задачи. Начнем с минимальных заказов у каждого поставщика, то есть х1 = 0, х2 = 4 (поскольку оценочная стоимость заказа х2 = 5 меньше, чем у заказа х2 = 4). Сравнивая цены при небольшом увеличении заказов, видим, что

50

	~	= 1,9),
дополнительный заказ выгоднее делать у второго производителя ( b2
~	= 2,1), т.е. оптимальное решение оценочной задачи х2
а не у первого ( b1			=

17, х1 = 6, а минимальная оценочная стоимость составляет 45,5 млн рублей. При сравнении оценочных стоимостей рассматриваемых вариантов оказывается, что оценочная стоимость варианта два меньше. Фактическая стоимость в решении х1 = 6, х2 = 17 совпадает с оценочной, т.е. полученное

решение является оптимальным решением всей задачи.

Так как для конкурсной комиссии необходимо не менее трех производителей, рассмотрим пример с тремя производителями пожарной техники, имеющей сходные тактико-технические характеристики. Исходные данные о производителях запишем в таблицу 2.5.

Таблица 2.5 Исходные данные для трех производителей пожарной техники

1.	ОАО АМО «ЗИЛ»	1	5	8	10
		2,5	2,3	2,2	2
2.	ОАО «ВЗППСО»	2	3	5	10
		3	2,8	2,6	2,2
3.	ОАО	3	4	8	10
«Пожтехника»		2,9	2,7	2,5	2,4

Пусть потребность составляет V = 15 единиц, каждый производитель может поставить в требуемые сроки 10 единиц техники. На первом шаге оценочной задачи имеем: S1(x1) = 2x1, S2(x2) = 2,2x2, S3(x3) = 2,4x3, получим

решение оценочной задачи х = 10, х = 0, х = 5, ~ . Так как

1 2 3 s 32

~ , то рассматриваем два подмножества решений Q и Q .

s3 (5) 12 s3 (5) 12,5 1 2

В первом подмножестве х3 ≤ 5, а во втором х3 ≥ 5. Анализируем первое подмножество Q1.

Оценочная функция второго производителя будет следующей S2(x2) = 2,3x2, решение оценочной задачи не изменится х1 = 10, х2 = 2, х3 = 5, оценка стоимости S = 20 + 13 = 33.

Анализ подмножества Q2.
Решение оценочной задачи х1 = 9, х2 = 6, х3 = 0, оценка стоимости S =
18 + 13,8 = 31,8 и	~	2		13,8	то есть оценочная стоимость
	2
	s (6) 13,8	s (6)

совпадает с фактической.

Из двух решений выбирается решение с минимальной величиной оценочной функции, что соответствует Q2.

Решая задачу для разных объемов поставки, предлагается получать зависимость S(V) после чего решается задача аналогичная задаче поставки от одного поставщика.

51

Для решения задачи возможна модификация метода ветвей и границ, в которой разбиение на подмножества следует производить по величинам заказа, при которых происходит изменение цены пожарных автомобилей. Так, в предыдущем примере на первом шаге алгоритма было получено решение х1 = 10, х2 = 0, х3 = 5. Разбиение на подмножества естественно

производить по второму поставщику, поскольку ~ . Однако в S2 (4) S2 (4)

данном случае рассматриваем два подмножества решений Q1 и Q2, причем

впервом подмножестве х2 < 6, а во втором х2 ≥ 6 (х2 = 6 точка изменения цены).

Такая модификация упрощает построение оценочных функций, каждая из которых будет линейной функцией величины заказа. В этом случае имеет место следующий результат.

Существуют решения оценочных задач, в которых только не более чем для одного поставщика оценочная стоимость заказа меньше фактической стоимости.

Доказательство приведено в работе [98] и следует из того, что каждая оценочная задача является задачей линейного программирования с одним ограничением на общую величину заказа, а заказ каждого поставщика ограничен величиной, при которой оценочная стоимость совпадает с фактической.

Как известно, в этом случае существует решение оценочной задачи,

вкотором заказы распределяются между поставщиками в очередности возрастания (не убывания) цены продукта, то есть, в первую очередь, заказ максимально возможной величины получит поставщик, предложивший минимальную цену, затем следующий по величине цены и т.д. Очевидно, что в этом случае только для последнего поставщика, получившего заказ, оценочная стоимость может быть меньше, чем фактическая.

Данное заключение приводит к естественному выбору поставщика для разбиения рассматриваемого множества решений на подмножества. А именно, для разбиения на подмножества выбирается поставщик, для которого оценочная стоимость меньше фактической. Если такого поставщика нет, то полученное решение оценочной задачи является оптимальным в рассматриваемом множестве решений.

2.2. Выбор оптимальной стратегии закупок

Множество подразделений, включенных в централизованную схему снабжения, должны снабжаться в соответствии с графиком поставок ресурсов из центра.

Для демонстрации оптимизации построения графика поставок, рассмотрим адаптированную для нужд подразделений МЧС модель выбора

52

стратегии оптовых закупок. Производители или поставщики ресурсов должны пройти конкурсный отбор [115], после чего на основании протокола заседания конкурсной комиссии подписывается договор на поставку ресурсов и согласовывается график поставки.

Поставщиками ресурсов могут быть как производители, так и посреднические оптовые фирмы или ретейлоры.

Ретейл - розничная торговля, или продажа товаров конечному потребителю [131].

С целью оптимизации использования финансовых ресурсов и снижения оптовых цен следует закупить сразу весь объем ресурсов, необходимый для деятельности подразделений в плановом периоде, и хранить ресурсы на складе. Приведенный алгоритм закупок связан с ростом затрат на складское хранение и складскую логистику, когда возможны потери в качестве и количестве, образование неликвидных ресурсов, при этом происходит замораживание финансовых ресурсов в запасах, что создает риск неправильного определения приоритета потребности.

Замораживание финансовых ресурсов в запасах уменьшает гибкость системы управления МТО и увеличивает риск не поставки требуемых при ликвидации пожаров и ЧС ресурсов. Данный риск риском можно назвать риском неправильного определения приоритета потребности (обозначим его через Др).

Так как не всегда возможно обеспечить требуемый при больших закупках объем финансирования, управленческое решение состоит в поиске оптимального варианта закупок, обеспечивающего максимальное удовлетворение потребностей подразделений при минимуме финансовых ресурсов, отсутствии или минимальном значении риска неправильного определения приоритета потребностей.

Срыв поставок не возможен, в соответствии с правилами конкурсных закупок ресурсов при срыве заказа первым поставщиком, заказ передается поставщику, занявшему второе место, и так далее. Поэтому, в качестве основного требования принято безусловное выполнение графика поставок ресурсов подразделениям. На основании сметы расходов на содержание подразделений и результатов конкурсных торгов целесообразно строить интегральный график закупок ресурсов (рис 2.5.). Такой график должен учитывать сроки поставок ресурсов центру, или по разнарядке центра сразу для системы управления МТО нижестоящего уровня (региональный центр, субъект, гарнизон, непосредственно в часть). Предложенный график закупок позволяет строить интегральный график поставок ресурсов в адрес подразделений или региональным системам управления МТО (рис 2.6).

53

W(t)					W(t)
w5					w5
w4					w4
w3					w3
w2					w2
w1					w1
τ1	τ2	τ3	τ4	τ5 t	t1	t2	t3	t4	t5 t
Рис. 2.5. Интегральный график					Рис. 2.6. Интегральный график
		закупок					поставок

Графики (рис 2.5-2.6) лежат в основе планирования расходования финансовых ресурсов, так как по условиям закупки ресурсов [115] получаемые предметы снабжения оплачиваются после получения подразделениями на основании формализованного акта.

Приведенный алгоритм позволяет снизить риск неправильного определения приоритета потребностей в случае крупных пожаров и чрезвычайных ситуаций, так как не все финансовые ресурсы расходуются одновременно и появляется возможность в экстренном порядке закупать требуемые ресурсы для тушения пожара или ликвидации последствий чрезвычайной ситуации.

В соответствии с приведенным графиком поставок, к моменту ti центр должен поставить материальные ресурсы в объеме wi. При этом закупки ранее установленного срока возможны, позже установленного срока требуют пересмотра критериев оптимальности закупок, что приводит к срыву графика поставок.

Принимаем, что по договору поставки рост цен на материальные ресурсы не превышает затраты на хранение и риск неправильного определения приоритета потребностей, в связи с чем закупка ресурсов раньше планового срока поставки не целесообразна.

Закупки ресурсов будут производиться центром в моменты τi, определяемые сроками изменения потребностей подразделений ti. Так в момент τ1 центр должен закупить минимальный объем ресурсов w1. Если принято управленческое решение о следующей закупке материальных ресурсов в момент τi, то в начальный момент τ1 центр должен закупить wi-1 объем ресурсов. Это требование достаточности ресурсов для всех подразделений от момента τ1 до момента ti.

54

Если по условиям договора конкурных торгов оптовая цена ресурсов для подразделений не зависит от объема закупок (объемы закупок попадают в интервал постоянства оптовой цены), то оптимальная стратегия управления закупочной деятельностью заключается в закупке объемов ресурсов для удовлетворения текущей потребности в момент τi,

что соответствует

i

wi

wi 1

. При этом, закупки ранее срока

использования ресурсов в текущей деятельности подразделений приводят к замораживанию финансов в запасах. То есть, закупка в момент τi

ресурсов в объеме более чем

i

целесообразна при угрозе резкого

увеличения потребности в данном ресурсе из-за роста числа пожаров и чрезвычайных ситуаций, либо если объем закупочной партии обеспечивает скидку.

Рассмотрим метод построения рациональных стратегий закупок, когда скидка дается в случае, если объем закупок не менее определенной величины Q.

Начнем с момента времени τ1 первой закупки. В данный момент центр производит закупку ресурсов либо в объеме 1 w1 , либо не менее Q.

Пусть wi Q wi 1 . Что означает, что объема Q достаточно, чтобы

обеспечить подразделения до момента τi включительно. Если объем закупленных ресурсов равен Q, то следующую закупку рационально сделать в момент не ранее τi+1, в противном случае возникают дополнительные расходы на хранение и происходит замораживание финансовых ресурсов в запасах.

Если объем закупленных ресурсов превышает Q, то рациональные варианты закупок составят wi+1, wi+2, …, wm. Аналогичные рассуждения можно привести для момента τi и т.д.

При принятии управленческих решений по закупкам ресурсов в момент τi, центр распределения ресурсов будет иметь различные остатки на складе к моменту τi, размер которых зависит от выбираемых вариантов закупок на предыдущих шагах. Поэтому, каждую ситуацию, характеризуемую наличием не используемых ресурсов на складе, следует рассматривать отдельно. Приведенные доводы позволяют выделить рациональные стратегии закупок ресурсов, которые могут быть представлены в виде графовой модели.

Пример 2.2. Построение графовой модели рациональных вариантов закупок достаточно наглядно можно показать на примере поставки пожарных напорных рукавов для гарнизона пожарной охраны областного центра.

С учетом месячной потребности в пожарных рукавах укрупненный квартальный график поставок имеет вид, представленный в таблице 2.6.

55

Таблица 2.6 График поставок пожарных рукавов для гарнизона пожарной охраны

i	1	2	3	4	5
τi, дней	25	110	196	285	363
wi, рукавов	37	62	76	106	116
∆i, рукавов	37	25	14	30	10
Оценка риска неправильного определения	0,01	0,01	0,003	0,005	0,01
приоритета потребности Др, тыс. руб.

Начинаем с последнего, пятого периода, соответствующего 363 дню года τ5 = 363. В данный момент необходимо дополнительно ввести в расчет гарнизона 10 пожарных рукавов, это связано с риском увеличения количества пожаров в новогодние и рождественские праздники. Хранение одного рукава длиной 20 метров в течение суток обходится в 0,01 тыс. рублей (увеличиваются только переменные издержки, связанные с правилами хранения и риском неправильного определения приоритета потребности). Цена одного пожарного рукава длиною 20 метров равна 5 тыс. рублей, если объем закупок меньше 50 ед. (1 км) у региональных поставщиков пожарных рукавов. Если объем закупок не менее 50 ед., то возможна централизованная поставка рукавов контейнером с заводаизготовителя, при этом цена одного пожарного рукава составит 4 тыс. рублей, и объем поставки может быть только партиями по 50, 80 и 250 штук, что связано с геометрическими размерами железнодорожных контейнеров. Для наглядного представления всех рациональных вариантов закупки рукавов предлагается варианты закупок представить в виде сети.

Сетью называется граф, с выделенными начальной и конечной вершинами (вход и выход) [25].

Шаг 1. Рассмотрим вершину 0, соответствующую закупкам в момент τi. Как было показано выше, рациональные объемы закупок в момент τ1 =

25 равны 37, 50, 62, 76, 80, 100, 106, 116, 130 рукавов. Проведем из

начальной вершины дуги, соответственно в вершины 1, 10, 2, 3, 30, 30*, 4, 5, 50 (рис. 2.7).

56

30*

10

0	1	2	3	4	5

50

30

Рис. 2.7. Граф закупок пожарных рукавов в январе

Дуга (0, 1) означает, что закупается 37 пожарных рукавов, а следующая закупка состоится в момент τ2 = 110; дуга (0, 10) означает, что закупается 50 пожарных рукавов, при этом 13 рукавов остается на складе гарнизона; дуга (0, 2) означает, что закупается 62 рукава; дуга (0, 3) означает, что закупается 76 рукавов, причем 50 по оптовой цене и 26 по розничной; дуга (0, 30) означает, что закупается 80 пожарных рукавов, а следующая закупка состоится в момент τ4 = 285, с учетом остатка 4-х рукавов; дуга (0, 30*) означает, что закупается 100 рукав, а следующая закупка состоится в момент τ4 = 285, с учетом остатка 24 рукава; дуга (0, 4) означает, что закупается 106 пожарных рукавов, два контейнера по 50 рукавов по оптовой цене и 6 рукавов по розничной цене и следующая закупка состоится в момент τ5 = 363; дуга (0, 5) означает, что закупается 116 рукавов, при этом закупается два контейнера по 50 рукавов по оптовой цене и 16 рукавов по розничной цене; дуга (0, 50) означает, что закупается 130 рукав, два контейнера на 50 и на 80 рукавов по оптовой цене.

Шаг 2. Рассматриваем вершину 1, соответствующую моменту τ2. Здесь рациональные варианты закупок: 25, 39, 50, 69, 79 и 80 рукавов. Поэтому проводим дуги (1, 2), (1, 3), (1, 31), (1, 4), (1, 5), (1, 51). Дугам (0, 50) и (1, 51), соответствуют разные величины остатков рукавов на складе гарнизона. Для дуги (0, 50) остаток рукавов равен 14 штукам, так как закуплено 130 рукавов, а передано подразделениям и введено в расчет к моменту t5 только 116 рукавов. Для дуги (1, 51) остаток равен 1 рукаву, при закупке в момент τ1 80 штук и передаче подразделениям 79 рукавов. Граф закупок для шага 2 изображен на рис. 2.8.

57

30*

51

10

0	1	2	3	4	5

31

30

50

Рис. 2.8. Граф закупок пожарных рукавов в 1 и 2 квартале

Рассматриваем вершину 10, соответствующую моменту τ2. Здесь рациональные варианты закупок: 12, 50 и 80 рукавов. Проводим дуги (10, 2), (10, 31*), (10, 51*). Дугам (0,50) и (1, 51), соответствуют разные величины остатков рукавов на складе гарнизона. Для дуги (0,50) остаток рукавов равен 14 штукам, так как закуплено 130 рукавов, а передано подразделениям к моменту t5 только 116 рукавов. Для дуги (1, 51) остаток равен 1 рукаву, при закупке в момент τ1 80 штук и передаче подразделениям 79 рукавов. Дугам (0, 30), (0, 30*), (1, 31), (10, 31*) соответствуют остатки рукавов 4, 24, 11.

Шаг. 3. Рассматриваем вершину 2, соответствующую моменту τ3. Здесь рациональные варианты закупок: 14, 44, 50, и 54 рукава. Проводим дуги (2, 3), (2, 4), (2, 42), (2, 5). Вершину (2, 42) строим в соответствии с тем, что при закупке 50 рукавов этого количества хватит до момента τ2 = 285 дней и на складе гарнизона останется еще 6 рукавов (рис. 2.9).

58

	30*
	51
10	42

0	1	2	3	4	5

31

30

50

Рис. 2.9. Граф закупок пожарных рукавов в 1, 2 и 3квартале

Шаг. 4. Рассматриваем вершину 3, соответствующую моменту τ4 = 285. Рациональные варианты закупок: 30, 40 и 50 рукавов. Проводим дуги (3, 4), (3, 5), (3, 51). Дуге (3, 53) будет соответствовать остаток 10 рукавов

(рис 2.10).

Рассмотрим вершину 30, с остатком 4 рукава, ей будут соответствовать два рациональных варианта закупки (30, 4) и (30, 5) когда необходимо закупить соответственно 26 и 36 рукавов.

Рассмотрим вершину 30*, с остатком 24 рукава, ей будут соответствовать два рациональных варианта закупки (30*, 4) и (30*, 5) когда

необходимо закупить соответственно 6 и 16 рукавов.
Рассмотрим вершину 31, с остатком 11 рукавов,	ей будут

соответствовать два рациональных варианта закупки (31, 4) и (31, 5) когда необходимо закупить соответственно 19 и 29 рукавов.

Шаг 5. Рассмотрим вершины 4, 42, соответствующие моменту τ5.

Для вершины 4 имеем один рациональный вариант закупок 10 рукавов, проводим дугу (4, 5). Для вершины 42, с остатком 6 пожарных рукавов, рациональный вариант закупок 4 рукава (рис 2.11).

59