Управление и оптимизация / Satin - Optimizatsionniye metodi upravleniya 2014

				μ3
			АЦ4	μ2
	λ4
		λ3		μ4
	μ4		АЦ3
АЦ0				μ2
	μ3			μ4
			λ2
μ1	μ2		АЦ2
				μ3
			λ1	μ1
			АЦ1	μ4
				μ3
			μ2

Событие 0

Событие i

λ3 АЦ34

λ4 μ1 λ2

АЦ24

λ4 μ1

λ2

АЦ23

λ3

μ1

λ1

АЦ14

λ4

λ1

λ3

АЦ13

λ1

λ2

АЦ12

Событие i, j

μ2

μ3

μ4

μ3

μ2

μ4

μ2

μ4

μ3

λ2

λ3 АЦ234

λ4

μ1

λ1

λ3 АЦ134

λ4 μ2

λ1

λ2

АЦ124

λ1 μ3

λ2	μ4
	АЦ123

λ3

Событие i, j, k

λ2 λ1

λ3 АЦ1234

λ4

Событие i, j, k, l

Рис. 2.14. Граф выхода из строя и восстановления для 4 пожарных автоцистерн

Так как характер неисправности может быть различен и сроки их устранения зависят от возможностей подразделений на местах, целесообразно ввести систему приоритетов при устранении неисправностей с пожарными автоцистернами.

Приоритеты обслуживания и ремонта представим римскими цифрами в следующем порядке:

Наивысший приоритет I – первоочередность ремонта пожарных автоцистерн наименьшей трудоемкости, обеспечивающий быстрое введение автоцистерны в боевой расчет;

II – преимущество определяется наличием запасных частей и агрегатов на складе пожарно-спасательной части или производственно – технического центра, обеспечивающих минимальные сроки простоя техники в ожидании недостающих запасных частей и агрегатов;

70

III – при наличии требуемых запасных частей и агрегатов и одинаковой трудоемкости ремонта или обслуживания ремонтируется автоцистерна, стоящая в боевом расчете, а не в резерве;

IV – если сравниваемые пожарные автоцистерны стоят в боевом расчете, то автоцистерна, имеющая более поздний срок выпуска, имеет преимущество и больший ресурс до следующего ремонта;

V – учитывается сезонность и дорожные условия, если в весеннюю распутицу требуют ремонта одинаковой трудоемкости автоцистерна повышенной проходимости и автоцистерна, у которой только одна ведущая ось, то ремонтируется сначала автоцистерна - вездеход. Если нужна более динамичная автоцистерна для движения по городским дорогам с твердым покрытием, то данный приоритет изменяется на противоположный;

VI - учитывается район выезда пожарно-спасательной части: в безводных районах вначале ремонтируется автоцистерна, перевозящая большее количество огнетушащих веществ и т.д.

Предложенные приоритеты очередности восстановления вышедшей из строя пожарно-спасательной техники позволяют судить о параметре λ, характеризующем периодичность поломки пожарных автоцистерн, который зависит от причины и серьезности случившейся поломки. Указанный параметр целесообразно определять путем мониторинга неисправностей техники.

С учетом предлагаемых приоритетов очередности восстановления пожарно-спасательной техники возможен следующий алгоритм определения приоритетов обслуживания и ремонта данной техники (рис.

2.15).

Данный алгоритм может быть использован при построении автоматизированной системы поддержки принятия решений для управления материально-техническим обеспечением подразделений государственной противопожарной службы.

Параметр μ характеризует производительность работы ремонтной бригады, является нормируемой величиной, значение которой приведено в литературе [81]. В зависимости от вида неисправности определяется общая трудоемкость обслуживания или ремонта и требуемое количество ремонтных бригад.

71

Начало Ввод Цi, Пi

i = 1

	нет		да
			Пi ≥ Пmax

Пi = Пmax, Определение очередности ремонта Цi

i = i + 1

да

нет

Пi = Пi + 1		i < Ц

Ввод μ

Конец

Рис. 2.15. Алгоритм выбора приоритета ремонта пожарных автоцистерн

Значение параметра µ целесообразно определять с учетом приоритетов постановки техники на обслуживание или ремонт. В зависимости от приоритета очередности обслуживания или ремонта конкретной пожарной автоцистерны, при П = 1 производится ее обслуживание или ремонт, а при П = 0 пожарная автоцистерна становится в очередь и ожидает ремонта.

Для удобства понимания алгоритма обозначим через Пi значения приоритета, при котором будет выполняться ремонт i – пожарноспасательной техники, то есть Пi = 1. Ц – общее количество пожарноспасательной техники, требующей ремонта.

Приведенный алгоритм работает следующим образом. Рассматривается пожарная автоцистерна (любой основной,

специальный или вспомогательный пожарный автомобиль), требующая обслуживания или ремонта и, исходя из предложенных критериев очередности восстановления, выставляется приоритет.

С учетом предлагаемого метода расстановки приоритетов обслуживания и ремонта пожарно – спасательной техники, дадим описание работы алгоритма выбора приоритетов.

Проверяется наличие в очереди на ремонт пожарных автомобилей, которые попарно сравниваются, каждому автомобилю выставляется приоритет очередности обслуживания или ремонта. Если приоритет

72

рассматриваемого автомобиля выше, то сравнивается пожарный автомобиль с максимальным приоритетом со следующим, требующим ремонта. После каждого попарного сравнения проверяется условие, что все пожарные автоцистерны, требующие обслуживания или ремонта рассмотрены. Если данное условие не выполняется, рассматривает следующий автомобиль. Если рассмотрены все пожарные автомобили, то выбирается пожарный автомобиль с максимальным приоритетом, ему присваивается П = 1 и выполняется ремонт, с учетом требуемой производительности ремонтной бригады μ.

В соответствии с предлагаемой методикой расстановки приоритетов очередности обслуживания или ремонта пожарно-спасательной техники ограниченным количеством ремонтных бригад, составим уравнение Колмогорова, описывающее переходы в системе пожарно-спасательная

часть на i, j, k, l автомобилей. При этом под

	П	jkl
		i

понимается приоритет

ремонта i - го пожарного автомобиля перед j-м, k-м, l-м автомобилями

dP

P

N

N

P П

,

0

i

i

i

dt

0

i

i

i 1

i 1

dP

P P ( П

N

)

N

P П

,

i

i

j

ij

ij

dt

0

i

i

i

i

j

j

j 1

j 1

i j

i j

dP

P

P P (( П

П

)

N

)

N

P П

,

ij

ij

ij

ijk

ijk

i

j

j

i

ij

i

i

j

j

k

k

k

dt

k 1

k 1

k i, j

k i, j

dP

P

P

P P (( П

П

П

N

)

N

П

,

P

ijk

ijk

ijk

ijk

l

ijkl

ijkl

dt

ij

k

ik

j

jk

i

ijk

k

k

j

j

i

i

l

l

l 1

l 1

l i, j,k

k i, j,k

...

IV

i

P (t) 1.

i 0

(2.8)

Для различных состояний системы, которые показаны на рис 2.14, введя условные обозначения вероятности состояний техники, перепишем уравнение Колмогорова для потока поломок и потока восстановления (обслуживания или ремонта) пожарных автоцистерн в пожарной части на четыре пожарных автоцистерны

73

			dP0		4 P P ,
	dt
					0		I
			dPI
					( 3 )P P 4 P ,
	dt						I	II	0
	dP					( 2 )PII		3 PI	PIII ,
			II
			dt
									(2.9)
	dP
			III			( )PIII		2 PII	PIV ,
			dt
	dPIV					P	P ,
						IV	III
	dt

IV

Pi (t) 1.

i 0

Первое слагаемое со знаком “–“ описывает исходящие потоки, когда происходит поломка пожарного автомобиля и переход в одно из состояний следующей группы, с меньшим числом исправных автомобилей; второе слагаемое описывает обратный входящий поток из следующей группы событий за счет восстановления техники; третье слагаемое описывает входящие потоки из группы состояний предыдущей группы событий с большим количеством исправных автомобилей, за счет поломки техники; четвертое слагаемое описывает исходящий обратный поток из рассматриваемого состояния в состояние с меньшим количеством неисправной пожарно-спасательной техники за счет ее обслуживания или ремонта.

Уравнение для первой и последней группы событий из одного состояния (когда все машины исправны или все машины неисправны) содержат только по два потока событий, описывающие связь этого состояния с последующим (когда все машины исправны) или с предыдущим (когда все машины не исправны).

Вероятности PI, PII, PIII, PIV - это суммарные вероятности того, что не исправны 1, 2, 3 и 4 пожарные автоцистерны.

PI = P1 + P2 + P3 + P4,

PII = P12 + P13 + P14 + P23 + P24 + P34, PIII = P123 + P124 + P234 + P134,

PIV = P1234.

При этом для фиксированного момента времени t при малом приращении ∆t, вероятность того, что система будет находиться в некотором состоянии (когда было исправно различное количество из i, j, k,

lавтомобилей), будет определяться как вероятность суммы трех событий.

1.В момент t система была в некотором состоянии при малом приращении ∆t не вышла из этого состояния.

74

2.При малом приращении ∆t произошла поломка пожарной автоцистерны, и система перешла в следующее состояние (например, из i, j в i, j, k).

3.При малом приращении ∆t произошло восстановление пожарной автоцистерны, и система перешла в предыдущее состояние (например, из i, j, k в i, j).

Для решения полученного дифференциального уравнения зададим начальные условия, или вероятность состояний системы в начальный момент времени равный 0.

Известно [1, 48, 64], что если число состояний системы конечно, и из каждого из них за конечное число шагов можно перейти в любое другое состояние, то, предельные или финальные вероятности существуют. При t →∞ в системе устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система меняет свои состояния случайным образом, и их вероятность уже не зависит от времени.

Такая предельная вероятность показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. С учетом того, что предельные вероятности постоянны, заменяя в уравнении 2.8 их производные нулевыми значениями, получаем систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для предлагаемой системы описывающей выход из строя и восстановление пожарных автоцистерн в пожарно-спасательной части на четыре автоцистерны графом состояний, показанным на рис 2.14, получена следующая система уравнений:

00000

IV

i 0

4 P0 PI ,

( 3 )PI PII 4 P0 ,

( 2 )PII 3 PI PIII

( )PIII 2 PII PIV

PIV PIII ,

Pi (t) 1.

, ,

(2.10)

После некоторых преобразований получим уравнения для вероятностей

75

	P			4		P ,
	I					0
			1										2
	P				(( 3 )P			4 P )		12				P ,
												2
	II					I			0						0
			1											3
	P				(( 2 )P				3 P )		24				P ,
	III						II		I				3		0
			1											4
	P				(( )P				2 P )		24				P ,
													4
	IV					III			II						0
IV
i				1.
	P (t)
i 0

(2.11)

Обозначив через τ интервал времени, когда автоцистерны исправны, получим λ = 1/τ. Так как поток событий по выходу из строя и восстановлению техники можно назвать стационарным потоком без последействия, для случая, когда пожарные автоцистерны выходят из строя поочередно, поток становится ординарным.

Для описанного случая поток будет являться простейшим и вероятность наступления событий распределяется по закону Пуассона. Вероятность поломок Ц автоцистерн за промежуток времени t будет следующей

		( t)	Ц
P	(t)			e	t	.
Ц		Ц!
(2.12)
Время между соседними				поломками будет
экспоненциальному закону с плотностью вероятности							f

распределено по

(t) e	t	.

Время восстановительного ремонта tобсл				является	случайной
величиной и	подчиняется показательному закону распределения с
плотностью вероятности f (t) e		t	, tобсл = 1/µ.
Загрузка системы обслуживания и ремонта техники будет
соответствовать	отношению		интенсивности	поломок	пожарно-

спасательной техники к интенсивности восстановления, которая равна производительности ремонтной бригады ρ = λ / µ.

Так как поток выхода из строя пожарно-спасательной техники в ряде случаев не обладает последействием, то есть не зависит от того, когда и как пожарно - спасательная техника выходила из строя, то для подобных случаев процесс, протекающий в системе, можно представить как Марковский.

	2		k
P1 = ρ ∙ Po, P2 =		Po, Pk =		Po - для количества поломок, меньших
	2		k!

или равных числу пожарно-спасательной техники k ≤ n.

76

Рассматриваемая система обслуживания и ремонта имеет неограниченную очередь в силу того, что все пожарно-спасательные автомобили обязаны быть обслужены, то есть Робсл = 1, Ротк = 0.

На такие системы «массового обслуживания» накладывается ограничения ρ / n < 1. Вероятность исправности всех автомобилей

Р		n		i
0
			i!
		i 0

		1
			n 1
		n!(n )

.

Востребованность ремонтных бригад

или вероятность занятости k бригад

Рk

для обслуживания и ремонта

		k	P	, для количества бригад
			0
			k!

большим или равном 1 и меньшим или равным количеству пожарноспасательной техники.

Вероятность поломки всей пожарно-спасательной техники и,

следовательно, максимальной занятости ремонтных бригад

	Вероятность наличия очереди	Роч		n 1	P	.
					0
					n!(n )

Р
	n
n

P0 n!

.

Вероятность того, что пожарно-спасательная техника попадет в очередь и не будет вовремя обслужена, равна сумме вероятностей поломки всех пожарных автомобилей и вероятности образования очереди

Р	Р	Р
			n
зан	n	оч

P0 (n 1)!(n )

.

Количество бригад, занятых обслуживанием и ремонтом пожарноспасательной техники, равно отношению среднего числа занятых обслуживанием бригад, к числу вышедшей из строя техники q = ρ / n.

Длина очереди или время ожидания обслуживания и ремонта

L	P
	0
n 1
	(n 1)!(n )	2

. С учетом длины очереди, среднее число неисправной

пожарно-спасательной техники, требующей ремонта, составит M = L + ρ. Среднее время ожидания ремонта составит t = L / λ. Среднее время восстановления пожарно-спасательной техники составит T = M / λ.

Пример 2.3. По данным ГУ МЧС России по субъекту федерации в 2013 году в пожарных частях, которые предназначены для размещения четырех пожарных автоцистерн, среднее время простоя одной автоцистерны в текущем ремонте составило 1 сутки, интенсивность поломок техники составила - 1 автоцистерна в 10 дней. Необходимо оценить техническую готовность пожарно-спасательной техники.

Основываясь на приведенных данных, интенсивность поломок пожарно-спасательной техники λ = 1/10 = 0,1, интенсивность

77

восстановления, зависящая от производительности ремонтных бригад, которые согласно [80] комплектуются из числа водителей, свободных от дежурства, μ = 1.

Исходя из полученных значений, рассчитаем готовность пожарных автоцистерн к выполнению поставленных задач, с учетом интенсивности выходя из строя и производительности ремонтной бригады.

	P			4				P			0,4P ,
	I								0			0
			1														2
	P				(( 3 )P								4 P )	12						P 0,12P ,
																2
	II										I		0							0		0
			1																3
	P					(( 2 )P 3 P )									24					P 0,024P ,
	III											II	I				3			0		0
			1															4
	P					(( )P							2 P )		24					P	0,0024P ,
																	4
	IV										III		II							0		0
IV
i				1.
	P (t)
i 0
												1									1
P																						0,647,
	0	1 0,4 0,12 0,024 0,0024																		1,5464
	P	0,4P 0,4 0,647 0,2588,
	I						0
			12
							2
P						2			P 0,12P 0,12 0,647 0,0776,
	II									0		0
							3
P			24						P 0,024P 0,024 0,647 0,0155,
							3
	III										0		0
							4
P			24						0,0024P 0,0024 0,647 0,00155,
	IV						4						0
IV
i
	P (t) 0,647 0,2588 0,0776 0,0155 0,00155 1.
i 0

(2.13)

Обозначим количество автоцистерн через N.

Готовность техники выразится формулой произведения общего количества автоцистерн (их 4 по условию) на вероятность того, что автомобиль будет исправен: 0,647 ∙ 4 = 2,588.

При использовании одного участка для обслуживания или ремонта при интенсивности поломок пожарных автомобилей 1 раз в 10 дней и времени ремонта в течение 1 суток, в рассматриваемом гарнизоне пожарной охраны в течение года в исправном состоянии будут находиться

78

2, 588 пожарных автоцистерн.

Загрузка системы обслуживания и ремонта ρ = λ / µ = 0,1 / 1 = 0,1. Вероятность, что все автомобили потребуют ремонта при одноканальной системе, когда в части 1 бригада, состоящая из водителей, свободных от

дежурства n = 1, равна

Р
	n
n

P0 n!

= 0,11 ∙ 0,647 / 1!=0,1 ∙ 0,647 / 1 = 0,0647.

Вероятность создания очереди

	Роч		n 1	P	= 0,01 ∙ 0,647 / (1 ∙ 0,9) = 0,007.
				0
				n!(n )

Вероятность занятости ремонтной бригады, когда в части неисправны более одной пожарной автоцистерны Pn + Pоч = 0,0647 + 0,007 = 0,0717

Длина очереди составит L = 0,12 ∙ 0,647 / 0,92 = 0,008

Среднее число неисправной техники, требующей обслуживания или ремонта составит M = L + ρ = 0,108.

Среднее время ожидания ремонта составит t = L / λ = 0,008 / 0,1 =

0,08.

Среднее время восстановления пожарной техники составит T = M /

λ = 0,108 / 0,1 = 1,08 = 8,64 час.

Наличие небольшой очереди означает, что пост обслуживания и ремонта практически справляется с потоком поломок пожарной техники в части. Срок восстановления техники составит 1,08 рабочей (8-ми часовой) смены.

В связи с тем, что ремонт производят водители, свободные от дежурства, нарушается их режим труда и отдыха. Для повышения технической готовности пожарно-спасательной техники, требуется принятие управленческого решения, которое относится к компетенции управления материально-техническим обеспечением.

Управленческое решение о вводе дополнительных ремонтных бригад может быть выражено в изменении приоритета расходования финансовых ресурсов для производства технического обслуживания и текущего ремонта пожарных автоцистерн с привлечением к выполнению работ сторонних организаций.

Выводы

Решение задач по определению рациональных вариантов закупок с учетом риска неправильного определения приоритета потребностей и определению приоритета очередности обслуживания и ремонта пожарной техники, требует разработки и обоснования:

79