- •§18. Непрерывные случайные величины. Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •§ 19. Плотность распределения
- •Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •Нахождение функции распределения по известной плотности распределения
- •Свойства плотности распределения
- •§ 20. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Математическое ожидание
- •Дисперсия и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины
- •§21. Нормальный закон распределения (нормальное распределение)
- •Вероятностный смысл параметров a и
- •Нормальная кривая (кривая Гаусса)
- •Влияние параметров a и на форму и расположение нормальной кривой
- •Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины.
- •Вероятность заданного отклонения
- •Правило трех сигм
- •§22. Закон равномерной плотности. (Равномерное распределение) Определение, плотность распределения
- •§ 23. Показательное распределение
- •§ 24. Моменты распределения.
- •§ 25. Предельные теории вероятностей.
- •Неравенство Чебышева
- •Неравенство Чебышева
- •Частный случай теоремы Чебышева
- •Сущность теоремы Чебышева
- •Значение теоремы Чебышева для практики
- •Теорема Бернулли
- •Центральная предельная теорема.
§ 19. Плотность распределения
В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин, введем понятие плотности распределения.
Механическая интерпретация распределения вероятностей
Дискретная случайная величина: в точках x1, x2, ..., xi сосредоточены массы p1, p2, …, pi, причем суммы всех масс равны 1.
Н епрерывная случайная величина: масса равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно «размазана» по оси 0х с некой плотностью (в общем случае неравномерной).
Средняя плотность на участке:
Опр. Плотностью распределения (или плотностью вероятности или просто плотностью) непрерывной случайной величины Х в точке х называется производная от функции распределении в этой точке
Плотность распределения f(x) иногда называют дифференциальной функцией распределения.
Г рафик плотности распределения f(x) называется кривой распределения.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (, ) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от до
.
Док-во. Воспользуемся формулой из §18:
.
По формуле Ньютона-Лейбница:
.
Отсюда: , что и требовалось доказать.
Г еометрически. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (, ) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой f(x), осью 0х, прямыми x=, x= .
.
Нахождение функции распределения по известной плотности распределения
Дано: f(x) – плотность распределения.
Найти: F(x) – функцию распределения.
По определению: .
.
Свойства плотности распределения
Плотность распределения – неотрицательная функция
Док-во. Функция распределения F(x) – неубывающая функция, следовательно, ее производная f(x) = F’(x) – неотрицательная функция.
Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - до + равен 1.
.
Док-во. .
Частный случай. Если все возможные значения непрерывной случайной величины Х принадлежат интервалу (, ), то
.
Геометрическая интерпретация свойств плотности распределения.
В ся кривая распределения f(x) лежит не ниже оси абсцисс.
Полная площадь, ограниченная кривой распределения f(x) и осью абсцисс, равна 1.
Механическая интерпретация.
.
вероятность попадания Х на участок , интерпретируется как масса, приходящая на участок .
средняя плотность на участке .
плотность массы в точке .
Пример. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х.
а) найти плотность распределения f(x);
б) графики F(x) и f(x);
в) найти вероятность попадания Х в (0,25; 0,5); (0,5; 0,2).
Решение.
а)
б)
в) (1-й способ)
(2-й способ).